对一类数列问题的思考

谭芳芳 李三平

摘 要 数列是高中数学重要内容之一，等差数列的通项与等差数列各项和的有关问题是考查的重点之一， 从多角度加以分析作答有利于培养发散思维能力、分析问题和解决问题的能力。本文将通过一个例子对其中的一类问题进行分析讨论。

关键词 数列 等差数列 高中数学

中图分类号：O171 文献标识码：A

Reflections on the Problems of Number of Columns

TAN Fangfang， LI Sanping

（Shaanxi Normal University， Xi'an， Shaanxi 710100）

Abstract The number of columns is one of the important contents of high school mathematics， general term arithmetic sequence with the number of columns and related issues is one of the key test， the answer to be analyzed from many angles help develop divergent thinking skills， analytical and problem-solving capabilities. This article will use an example of a class of problems to analyze and discuss.

Key words arithmetic sequence； number of columns； high school mathematics

数列是高中数学的重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。数列作为一种特殊的函数与函数思想也是密不可分。等差数列是对数列知识的进一步深入和拓广，等差数列的通项与等差数列各项和的有关问题是考查的重点之一， 从多角度加以分析作答有利于培养发散思维能力、分析问题和解决问题的能力。下面将通过一个例子对其中的一类问题进行分析讨论。

例 已知等差数列{}，{}的前项和分别为和， 若对一切正整数均有 = （，，，均为常数且满足≠0）， 求的值。

分析1：当等差数列的公差非零时，由等差数列的函数思想知：，是关于的一次函数，因而可设出它们的形式。随之作为已知条件来求，为任何正整数时的值。

解法1：数列{}，{}为等差数列，由等差数列的函数性质可知：，均为的一次函数。由 = ， 故令 = （）， = （）。

则的前项和

= = = ，

的前项和

= = = 。

故 = = 。

点评1：从等差数列的函数思想出发，结合已知条件，设出两个数列的通项公式，进而作为已知条件进行解题。此类方法看着有些繁琐，但此法具有普遍性和实用性，能够解决，为任何正整数时的值。

分析2：假设 = {}， 故 = ， 由已知条件 = ， 分别求，， …，， …，的值，再使用分数的性质设出数列的每一项进行解题。 此法亦适用于为任何正整数时的情形。

解法2：由 = ，分别取值1，2，…，，…，得出，

= ，= ， …，

= ， …， = 。

令，分别是数列，的某一项，故可令 = （）， = （）。

因为{}，{}是等差数列，满足 = ， = 。

所以

= （2）， = （2），…， = （）， = （）， …， = （）， = （）。

=

=

= =

点评2：此题是利用数列的基本量来解决，

即 = ，进而与已知条件 = 联系起来，通过分数的性质求解了该题。此法亦具有普遍性，能够解决，为任何正整数时的值。

分析3：已知 = ， 而等差数列的前项和公式是 = ， 又结合等差数列的中项性质 + = 2 （ + = 2）。这样便可求解，均为奇数（令 = 2， = 2）时。

解法3：由等差数列的性质知： + = 。

= = 。

因为 = ， 所以 = 。

于是 = 。

点评3：此法很简便，利用等差数列的中项性质 + = （ + = 2）使得问题变得容易。但它具有局限性，只适用于求解（，均为奇数）的问题。

求解等差数列通项与其各项和的问题需要灵活运用它的性质， 通项公式及求和公式。 从多角度用不同方法对这类问题求解， 可以有效地将相关知识融合为一个整体， 使得知识系统化， 便于对知识的灵活运用。

参考文献

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