高中数学中的“对称图形”题型及解法浅探

姜瑜

“对称性”是数学美的一种体现，也是历年高考题中的常见题型，理解和掌握“对称图形”的基本规律和解题方法是十分必要的.

一、本身具有对称性的图形

如“三角函数的图像，圆锥曲线”等，此类问题可直接应用对称轴方程加以解决.

例1：如果y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称，那么A=（ ）

A. B.- C.1 D.-1

解：∵y=sin2x+cos2x= sin（2x+φ），其中tanφ=a

∴2x+φ=kπ+ ？圯x= + - =-

∴φ=kπ+ 即：a=tan（kπ+ ）=-1，故选D.

例2：曲线x +y +2 -2 =0关于（ ）

A.直线x= 对称 B.直线y=-x对称

C.点（-2， ）中心对称 D.点（ ，0）对称

解：将方程配方得：（x+ ） +（y- ） =4，

∴曲线是以（-2， ）为圆心，2为半径的圆.由圆自身的对称性可知应选B.

评析：1.对于y=sinx直接应用对称轴方程x=kπ+ （k∈Z）求解，方法简明扼要.

2.对于圆，过圆心的任意直线都是对称轴，圆心是对称中心.

3.关于y=f（x）其图像存在对称性，有一般的结论：f（x+a）=f（b-x）恒成立？圳y=f（x）的图像关于x= 对称.

二、两个图形关于点对称

两个图形关于点对称的此类问题可借中点公式极易解决.

例3：设曲线C的方程是y=x -x将C沿x轴、y轴的正方向分别平行移动T、S个单位长度后，得曲线C ，

（1）写出C 的方程；

（2）证明C 和C关于点（ ， ）对称.

解析：（1）由题意：C ：y-S=（x-T） -（x-T）.

（2）设M（x，y）是C上的任意点，M′（x′，y′）是M关于（ ， ）的对称点，

由中点公式：x=T-x′，y=x-y′，代入C得：y′-S=（x′-T） -（x-T）

∴M在曲线C 上.

反过来，同样可以证明：C 上的任意点关于（ ， ）对称的点也在C上.

因此，C 与C关于点（ ， ）对称.

评析：关于成中心对称的两个图形，上例实质是求中心对称和证明中心对称的一般方法.

一般地，f（x，y）=0关于Q（a，b）成中心对称的曲线的求法：设M（x，y）是所求曲线上任意点，M关于Q对称的点是（2a-x，2b-y），所以，所求曲线为f（2a-x，2b-y）=0.

三、关于直线对称的图形

此类问题都主要借助中点公式，斜率公式，通过联解方程求对称点的坐标，即可解决.

例4：椭圆C与椭圆 + =1，关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）

A. + =1 B. + =1

C. + =1 D. + =1

解：设P（x，y）是C上任意点，P关于x+y=0对称的点P′（x′，y′），

∴由中点公式和斜率公式知：

+ =0（1）

=1（2）

联解（1）（2）得：x′=-y，y=-x代入已知椭圆得： + =1，故选A.

例5：如图，已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上.若点A（-1，0）和B（0，8）关于L对称的点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.

解析：设L：y=kx，C：y =2px（p>0）.

A关于L对称的点为A′（a，b），

∴a= ，b= ，

同理B关于L对称的点B′（ ， ）

∵A′和B′都在C上，分别代入C的方程得：

（ ） =2p（ ）（1）

[ ] =2p（ ）（2）

联解（1）（2）知：k = ，k = .

当k= 时，a= <0不符合题意.

∴k= ，此时，p= ，

∴L：y= x；C：y = x.

评析：上两例都是图形关于直线对称问题，其本质是首先转化为点关于直线对称.对于点P（a，b）关于直线L：Ax+By+C=0对称的点P′（a，b）有一般的结论：

∵PP′的中点在L上：A +B +C=0（1）

又∵KPP′：K =-1，∴ = （A≠0，B≠0）（2）

联解（1）（2）得

a=-

b=-

对于A=0或B=0，情况更简单，不再赘述.endprint

“对称性”是数学美的一种体现，也是历年高考题中的常见题型，理解和掌握“对称图形”的基本规律和解题方法是十分必要的.

一、本身具有对称性的图形

如“三角函数的图像，圆锥曲线”等，此类问题可直接应用对称轴方程加以解决.

例1：如果y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称，那么A=（ ）

A. B.- C.1 D.-1

解：∵y=sin2x+cos2x= sin（2x+φ），其中tanφ=a

∴2x+φ=kπ+ ？圯x= + - =-

∴φ=kπ+ 即：a=tan（kπ+ ）=-1，故选D.

例2：曲线x +y +2 -2 =0关于（ ）

A.直线x= 对称 B.直线y=-x对称

C.点（-2， ）中心对称 D.点（ ，0）对称

解：将方程配方得：（x+ ） +（y- ） =4，

∴曲线是以（-2， ）为圆心，2为半径的圆.由圆自身的对称性可知应选B.

评析：1.对于y=sinx直接应用对称轴方程x=kπ+ （k∈Z）求解，方法简明扼要.

2.对于圆，过圆心的任意直线都是对称轴，圆心是对称中心.

3.关于y=f（x）其图像存在对称性，有一般的结论：f（x+a）=f（b-x）恒成立？圳y=f（x）的图像关于x= 对称.

二、两个图形关于点对称

两个图形关于点对称的此类问题可借中点公式极易解决.

例3：设曲线C的方程是y=x -x将C沿x轴、y轴的正方向分别平行移动T、S个单位长度后，得曲线C ，

（1）写出C 的方程；

（2）证明C 和C关于点（ ， ）对称.

解析：（1）由题意：C ：y-S=（x-T） -（x-T）.

（2）设M（x，y）是C上的任意点，M′（x′，y′）是M关于（ ， ）的对称点，

由中点公式：x=T-x′，y=x-y′，代入C得：y′-S=（x′-T） -（x-T）

∴M在曲线C 上.

反过来，同样可以证明：C 上的任意点关于（ ， ）对称的点也在C上.

因此，C 与C关于点（ ， ）对称.

评析：关于成中心对称的两个图形，上例实质是求中心对称和证明中心对称的一般方法.

一般地，f（x，y）=0关于Q（a，b）成中心对称的曲线的求法：设M（x，y）是所求曲线上任意点，M关于Q对称的点是（2a-x，2b-y），所以，所求曲线为f（2a-x，2b-y）=0.

三、关于直线对称的图形

此类问题都主要借助中点公式，斜率公式，通过联解方程求对称点的坐标，即可解决.

例4：椭圆C与椭圆 + =1，关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）

A. + =1 B. + =1

C. + =1 D. + =1

解：设P（x，y）是C上任意点，P关于x+y=0对称的点P′（x′，y′），

∴由中点公式和斜率公式知：

+ =0（1）

=1（2）

联解（1）（2）得：x′=-y，y=-x代入已知椭圆得： + =1，故选A.

例5：如图，已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上.若点A（-1，0）和B（0，8）关于L对称的点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.

解析：设L：y=kx，C：y =2px（p>0）.

A关于L对称的点为A′（a，b），

∴a= ，b= ，

同理B关于L对称的点B′（ ， ）

∵A′和B′都在C上，分别代入C的方程得：

（ ） =2p（ ）（1）

[ ] =2p（ ）（2）

联解（1）（2）知：k = ，k = .

当k= 时，a= <0不符合题意.

∴k= ，此时，p= ，

∴L：y= x；C：y = x.

评析：上两例都是图形关于直线对称问题，其本质是首先转化为点关于直线对称.对于点P（a，b）关于直线L：Ax+By+C=0对称的点P′（a，b）有一般的结论：

∵PP′的中点在L上：A +B +C=0（1）

又∵KPP′：K =-1，∴ = （A≠0，B≠0）（2）

联解（1）（2）得

a=-

b=-

对于A=0或B=0，情况更简单，不再赘述.endprint

“对称性”是数学美的一种体现，也是历年高考题中的常见题型，理解和掌握“对称图形”的基本规律和解题方法是十分必要的.

一、本身具有对称性的图形

如“三角函数的图像，圆锥曲线”等，此类问题可直接应用对称轴方程加以解决.

例1：如果y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称，那么A=（ ）

A. B.- C.1 D.-1

解：∵y=sin2x+cos2x= sin（2x+φ），其中tanφ=a

∴2x+φ=kπ+ ？圯x= + - =-

∴φ=kπ+ 即：a=tan（kπ+ ）=-1，故选D.

例2：曲线x +y +2 -2 =0关于（ ）

A.直线x= 对称 B.直线y=-x对称

C.点（-2， ）中心对称 D.点（ ，0）对称

解：将方程配方得：（x+ ） +（y- ） =4，

∴曲线是以（-2， ）为圆心，2为半径的圆.由圆自身的对称性可知应选B.

评析：1.对于y=sinx直接应用对称轴方程x=kπ+ （k∈Z）求解，方法简明扼要.

2.对于圆，过圆心的任意直线都是对称轴，圆心是对称中心.

3.关于y=f（x）其图像存在对称性，有一般的结论：f（x+a）=f（b-x）恒成立？圳y=f（x）的图像关于x= 对称.

二、两个图形关于点对称

两个图形关于点对称的此类问题可借中点公式极易解决.

例3：设曲线C的方程是y=x -x将C沿x轴、y轴的正方向分别平行移动T、S个单位长度后，得曲线C ，

（1）写出C 的方程；

（2）证明C 和C关于点（ ， ）对称.

解析：（1）由题意：C ：y-S=（x-T） -（x-T）.

（2）设M（x，y）是C上的任意点，M′（x′，y′）是M关于（ ， ）的对称点，

由中点公式：x=T-x′，y=x-y′，代入C得：y′-S=（x′-T） -（x-T）

∴M在曲线C 上.

反过来，同样可以证明：C 上的任意点关于（ ， ）对称的点也在C上.

因此，C 与C关于点（ ， ）对称.

评析：关于成中心对称的两个图形，上例实质是求中心对称和证明中心对称的一般方法.

一般地，f（x，y）=0关于Q（a，b）成中心对称的曲线的求法：设M（x，y）是所求曲线上任意点，M关于Q对称的点是（2a-x，2b-y），所以，所求曲线为f（2a-x，2b-y）=0.

三、关于直线对称的图形

此类问题都主要借助中点公式，斜率公式，通过联解方程求对称点的坐标，即可解决.

例4：椭圆C与椭圆 + =1，关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）

A. + =1 B. + =1

C. + =1 D. + =1

解：设P（x，y）是C上任意点，P关于x+y=0对称的点P′（x′，y′），

∴由中点公式和斜率公式知：

+ =0（1）

=1（2）

联解（1）（2）得：x′=-y，y=-x代入已知椭圆得： + =1，故选A.

例5：如图，已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上.若点A（-1，0）和B（0，8）关于L对称的点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.

解析：设L：y=kx，C：y =2px（p>0）.

A关于L对称的点为A′（a，b），

∴a= ，b= ，

同理B关于L对称的点B′（ ， ）

∵A′和B′都在C上，分别代入C的方程得：

（ ） =2p（ ）（1）

[ ] =2p（ ）（2）

联解（1）（2）知：k = ，k = .

当k= 时，a= <0不符合题意.

∴k= ，此时，p= ，

∴L：y= x；C：y = x.

评析：上两例都是图形关于直线对称问题，其本质是首先转化为点关于直线对称.对于点P（a，b）关于直线L：Ax+By+C=0对称的点P′（a，b）有一般的结论：

∵PP′的中点在L上：A +B +C=0（1）

又∵KPP′：K =-1，∴ = （A≠0，B≠0）（2）

联解（1）（2）得

a=-

b=-

对于A=0或B=0，情况更简单，不再赘述.endprint