背得不错，做起题来咋就错了？

浦陈霞+严育洪

“望”：病例观察

“乘法分配律”是苏教版教材四年级下册的内容。课一开始，教师出示如下两组题目，男女生各做一组，比一比谁算得快。教师意在通过做第一组题的女生获胜引出新授内容。

第一组 第二组

（4+6）×2 4×2+6×2

（9+11）×15 9×15+11×15

（23+17）×40 23×40+17×40

（45+55）×9 45×9+55×9

结果，意外的是一位男生得了第一名。他在说获奖感言时说：“我就做了第一组好算的题……”话没说完，就有同学大喊：“做错题啦！”他急忙解释：“我发现两组题结果是一样的。”教师惊讶地追问他是怎么发现的，他说出了自己的看法：“第一个算式，以前在计算长方形周长时，就已经知道它们是相等的了，于是我就猜想这两组题结果是一样的。”

……

全课总结时，教师例行公事地问：“乘法分配律大家学会了吗？”学生众口一词：“学会了！”见此情景，教师追查：“哦？背得出了？你来背一下。”被点名的学生背得很流利，教师表扬道：“你果然学会了，真棒！”课后，教师要求学生熟记乘法分配律，并到小组长那里过关。

……

第二天，在教“利用乘法分配律进行简便计算”时，又抽查了几位学生，表现让教师很满意。接下来做书上的简算题，学生应对自如。看来，前面的功夫没有白费。

课后，教师给学生另外出了一些检测题，结果学生出现了这样一些错误：（33+4）×25=33+4×25；12×97+3=12×（97+3）；25×（4×8）=25×4+25×8。学生前后判若两人的表现，让教师感到很奇怪：“明明背得不错，做起题来咋就错了呢？”

“问”：病历记录

过后，教师对出错学生进行了重点访谈。

错例1：（33+4）×25=33+4×25

师：你是怎么想到这样算的？

生：25和4是好朋友嘛，可以用乘法分配律简算呀。

师：乘法分配律，你用对了吗？

生（等式前后对照了一下）：对啊，数字和符号都不差。

师：你再对照一下乘法分配律的字母式。

生（终于发现了问题）：哦，33忘记乘25了。（顿了一会，一脸疑惑）咦，这样计算，好像也不是特别简便哟。

……

错例2：12×97+3=12×（97+3）

师：乘法分配律你会背吗？

生：会啊。

师：乘法分配律你会用吗？

生：会啊。

师：这题能用乘法分配律吗？

生（感到很奇怪）：哦，不能简算吗？哦——我以为也要简便计算呢，就把97和3凑整了。（顿了一下，弱弱地说）老师，这题不会是您出错了吧？

……

错例3：25×（4×8）=25×4+25×8

师：你为什么要用25分别去乘4和8？

生（一脸疑惑）：用乘法分配律啊！（看了一会儿）老师，是我错了，没注意符号，应该用乘法结合律简算的。

……

接着，在与执教教师针对“背得出与做不对”这种背离现象的访谈中，听到了这样的反思：学生之所以出现这些错误，一是由于学生对乘法分配律缺乏生活经验及知识基础，没能够真正理解其内涵，只是在机械地背诵和纯粹地模仿；二是课后学生对乘法分配律的遗忘速度更是非常快。

“切”：病理诊治

经过课上观察和课后访谈，教师发现学生说得比做得好的症结在于流于“形式”，一是教学流于形式，二是知识流于形式，集中表现在只重乘法分配律的发现而不重乘法分配律的原理。

尽管课上学生都知道并会背乘法分配律，但对知识本质的掌握，根基不牢也不深。例如，上述错例1和错例2，就经不住“考验”，原形毕露。

上述错例，固然与数的诱惑有关，但与教师的教也有着一定的关系。从第一课时的比赛，到课尾的练习，教师过多地采用了可以简便计算的题目，加上在第二课时简便计算的强化，极易造成运用乘法分配律是为了简便计算的错觉，学生的第一反应就是能否简算，于是4和25、97和3等数的“捣乱”也就能够生效，无怪乎学生会发出“咦，这样计算，好像也不是特别简便”“老师，这题不会是您出错了吧”等疑惑。鉴于此，第一课时的第一印象很重要，教师应淡化简算的痕迹，而突出乘法分配律的两个算式体现着两种思考问题的方式。在举例时，也应该少用一些特殊的数，避免过早地把学生的视线引向简便计算。

不管如何，学生的不熟“练”，说明对乘法分配律的意义建构和形式建构并不充分。而要让学生少一些死记硬背，就要让他们知道“乘法分配律为何是这样的”，知其然而知其所以然，才不会轻易地犯糊涂、被误导。由此，在教学中，教师应该积极寻求让学生易理解、易记忆、易掌握的方法。

一是强化乘法分配律的内在意义，让学生有联系地记忆。乘法分配律不只是为简算而存在，它还有着广泛的生活意义。当学生知道了知识的生活意义，也就会觉得学习有意思。所以，第一课时一开始的导入，教师不妨让知识“回到”生活：（1）一套服装，上衣58元，裤子42元，买这样的3套应付多少钱？（2）两车同时从两地相对开出，4小时后相遇。甲车每小时行70千米，乙车每小时行50千米，两地相距多少千米？（3）铺地砖，左面每排铺6块，铺9排；右面每排铺4块，铺9排。一共铺多少块地砖？……熟悉的生活，熟悉的旧知，能让学生感到新知不“新”。由此看来，访谈中执教教师所说的“学生缺乏生活经验及知识基础”理由不成立。

当然，有意义的教学不能止步于揭示乘法分配律的生活意义，还应该揭示乘法分配律的数学意义，这是知识的根本。

首先，教师可以采用数形结合的方式，帮助学生形象化理解乘法分配律。上述课中，那位男生发现了“（4+6）×2 ”与“4×2+6×2”形似长方形周长的两种计算方法“（a+b）×2 ”与“a×2+b×2”，由此推测，如此结构的两组算式结果相等，这是一种直觉思维，也是一种直观思维。这也说明，学生在以往的学习中已或隐或显接触到了乘法分配律的身影。又如，在数的领域，“两位数乘一位数的口算”以及乘法竖式计算中也或多或少蕴含着乘法分配律的基因。endprint

用长方形周长来形象化乘法分配律有一定的局限性，教师一般用长方形面积来“画”出乘法分配律（如图1），这样的图例可以从上述“铺地砖”的生活情境中抽象出来。当然，教师也可以先把“铺地砖”半抽象成格子图（如图2），作为乘法分配律从数到形之间的过渡，于是，教师可以进行如下教学铺垫。

图1

1.一排排地出示绿色小正方形，计算总个数，得到算式5×3。

2.出示算式4×3，你想到了怎样的画面？一排排地出示蓝色小正方形。

图2

3.问：小正方形一共有多少个？引导学生列出综合算式5×3+4×3和（5+4）×3。对于（5+4）×3，教师可动态演示两个图形的合并过程。

接着，根据上述教学过程，可以把上面的合并图去除格子线，就进一步抽象成前述“（a+b）×c=a×c+b×c”所表示的长方形面积图。

最后，教师还应该回到知识的源头来理解乘法分配律。顺着上述图形示意，逐步从“几个小正方形”抽象到“几个几”，也就是最终用乘法意义来解释乘法分配律。

总之，对于乘法分配律的教学，教师不能仅仅满足于让学生采用不完全归纳法发现规律，还应该注重乘法分配律从生活表征到图形表征到数学表征的抽象过程，知道了乘法分配律的意义，也就能够实现有意义的建构，乘法分配律的特征也就能够铭记于心。至此，访谈中执教教师的困惑——“没能够真正理解其内涵，只是在机械地背诵和纯粹地模仿”也就会烟消云散。

二是强化乘法分配律的外在特征，让学生有联想地记忆。有意义记忆可以延长知识的保存时间，但也不是一劳永逸，还取决于学生是否对知识的外形了然于心，所以，形式上的记忆也很重要，学生只要想到乘法分配律，脑中就能够自动跳出它的模型。

然而，单调的背记会让学生生厌。对此，有一位教师采用比喻的方式帮助学生记忆“a×（b+c）=a×b + a×c”的形式：a喜欢交朋友，先与b乘一乘，再与c乘一乘，最后一起手拉手。

还有一位教师则讲得更有意思：a妈妈有两个儿子，一个是b，一个是c。b和c先住在一起，后来b和c长大要分家了，a妈妈既要拉b的手又要拉c的手。为什么？因为a既是b的妈妈又是c的妈妈。少拉了一个儿子的手，另外一个儿子会认为妈妈太偏心，会伤心的。

这样的比喻虽然不十分科学，但足以达到趣味化辅助记忆的目的。正因为是辅助，所以这样的“幽默一记”应该放在规范化记忆之后。调查表明：如果在叙述一个概念时，紧接着举一个幽默的例子解释概念，可以帮助学生理解。以幽默的方法点拨知识，特别对一些抽象的数学内容和深奥的数学道理，可以使其通俗化，从而降低知识难度，提高理解效度。

当然，教师还可以抓住乘法分配律中的“分配”两字，帮助学生记忆和运用：先把“（b+c）”分成两部分，然后把b和c分别配给a相乘，最后合起来。

有意义的知识建构加上有意思的知识建“构”，可以最大程度地防止或延缓访谈中执教教师所担心的——“课后学生对乘法分配律的遗忘速度更是非常快”。

从上述错例3可以知道，学生对于乘法分配律，最容易与乘法结合律发生混淆。另外还可以知道，比较也是强化知识特征的有效方法。除了从结构上比较之外，教师还可以从意义上比较。当然，受制于学生的学习内容，教师还不能把乘法结合律表征为长方体的体积，但可以借助生活情境来帮助学生理解两者意义的不同。例如，有一位教师这样设计乘法分配律与乘法结合律的比较教学。

1.出示28×（4×2），问：如果28表示每壶油28元，那么这个算式的每一步计算可能表示什么？结合学生的解释画出示意图：

那么，28×4×2这个算式每一步表示什么？

2.将28×（4×2）改成28×（4+2），它们表示的含义一样吗？

3.如果28×（4+2）去掉括号——28×4+2，又会发生什么变化呢？那么25×（4+2）去掉括号应写成什么样呢？

4.讨论：同样是去括号，为什么28×（4+2）=28×4+28×2中28出现了两次，而28×（4×2）=28×4×2中28只用了一次？

上述教例，运用了多种比较和多次比较：纵向上，乘法分配律与乘法结合律进行比较；横向上，乘法分配律左右两个算式进行比较。每一种、每一次形式上的比较，其实都归结于意义上的比较。表面上，与乘法结合律的比较花费了教学时间，实质上却在反作用于乘法分配律的理解和记忆，比较常常能够达到一举两得的功效。为此，在练习中，教师可以用25×44大做文章，如果变成25×（4×11），则用乘法结合律简算，如果变成25×（40+4），则用乘法分配律简算（其实也就是竖式乘法的算法），一题两法，对比强烈。

比较可以强记，由此，教师在教学中不妨插入一些如错例2这样的反例，一方面可以让学生在对比中清晰地认识并掌握乘法分配律的结构特征，另一方面可以克服学生“凡是这节课教的都可以用乘法分配律”的思维定势，再一方面可以使学生领教审题的重要性。

综上所述，学生背得出，并不表示就学会了，学生背得熟练，并不表示就能够熟“练”。要能够熟“练”，反复操练固然必不可少，但若能明明白白地操练无疑是上上之策，首先能“知其理”，然后能“识其貌”，如此的“知”“识”学习，才能让学生更好地掌握知识。

（江苏省无锡市锡山区东亭实验小学 214101

江苏省无锡市锡山教师进修学校 214101）endprint

用长方形周长来形象化乘法分配律有一定的局限性，教师一般用长方形面积来“画”出乘法分配律（如图1），这样的图例可以从上述“铺地砖”的生活情境中抽象出来。当然，教师也可以先把“铺地砖”半抽象成格子图（如图2），作为乘法分配律从数到形之间的过渡，于是，教师可以进行如下教学铺垫。

图1

1.一排排地出示绿色小正方形，计算总个数，得到算式5×3。

2.出示算式4×3，你想到了怎样的画面？一排排地出示蓝色小正方形。

图2

3.问：小正方形一共有多少个？引导学生列出综合算式5×3+4×3和（5+4）×3。对于（5+4）×3，教师可动态演示两个图形的合并过程。

接着，根据上述教学过程，可以把上面的合并图去除格子线，就进一步抽象成前述“（a+b）×c=a×c+b×c”所表示的长方形面积图。

最后，教师还应该回到知识的源头来理解乘法分配律。顺着上述图形示意，逐步从“几个小正方形”抽象到“几个几”，也就是最终用乘法意义来解释乘法分配律。

总之，对于乘法分配律的教学，教师不能仅仅满足于让学生采用不完全归纳法发现规律，还应该注重乘法分配律从生活表征到图形表征到数学表征的抽象过程，知道了乘法分配律的意义，也就能够实现有意义的建构，乘法分配律的特征也就能够铭记于心。至此，访谈中执教教师的困惑——“没能够真正理解其内涵，只是在机械地背诵和纯粹地模仿”也就会烟消云散。

二是强化乘法分配律的外在特征，让学生有联想地记忆。有意义记忆可以延长知识的保存时间，但也不是一劳永逸，还取决于学生是否对知识的外形了然于心，所以，形式上的记忆也很重要，学生只要想到乘法分配律，脑中就能够自动跳出它的模型。

然而，单调的背记会让学生生厌。对此，有一位教师采用比喻的方式帮助学生记忆“a×（b+c）=a×b + a×c”的形式：a喜欢交朋友，先与b乘一乘，再与c乘一乘，最后一起手拉手。

还有一位教师则讲得更有意思：a妈妈有两个儿子，一个是b，一个是c。b和c先住在一起，后来b和c长大要分家了，a妈妈既要拉b的手又要拉c的手。为什么？因为a既是b的妈妈又是c的妈妈。少拉了一个儿子的手，另外一个儿子会认为妈妈太偏心，会伤心的。

这样的比喻虽然不十分科学，但足以达到趣味化辅助记忆的目的。正因为是辅助，所以这样的“幽默一记”应该放在规范化记忆之后。调查表明：如果在叙述一个概念时，紧接着举一个幽默的例子解释概念，可以帮助学生理解。以幽默的方法点拨知识，特别对一些抽象的数学内容和深奥的数学道理，可以使其通俗化，从而降低知识难度，提高理解效度。

当然，教师还可以抓住乘法分配律中的“分配”两字，帮助学生记忆和运用：先把“（b+c）”分成两部分，然后把b和c分别配给a相乘，最后合起来。

有意义的知识建构加上有意思的知识建“构”，可以最大程度地防止或延缓访谈中执教教师所担心的——“课后学生对乘法分配律的遗忘速度更是非常快”。

从上述错例3可以知道，学生对于乘法分配律，最容易与乘法结合律发生混淆。另外还可以知道，比较也是强化知识特征的有效方法。除了从结构上比较之外，教师还可以从意义上比较。当然，受制于学生的学习内容，教师还不能把乘法结合律表征为长方体的体积，但可以借助生活情境来帮助学生理解两者意义的不同。例如，有一位教师这样设计乘法分配律与乘法结合律的比较教学。

1.出示28×（4×2），问：如果28表示每壶油28元，那么这个算式的每一步计算可能表示什么？结合学生的解释画出示意图：

那么，28×4×2这个算式每一步表示什么？

2.将28×（4×2）改成28×（4+2），它们表示的含义一样吗？

3.如果28×（4+2）去掉括号——28×4+2，又会发生什么变化呢？那么25×（4+2）去掉括号应写成什么样呢？

4.讨论：同样是去括号，为什么28×（4+2）=28×4+28×2中28出现了两次，而28×（4×2）=28×4×2中28只用了一次？

上述教例，运用了多种比较和多次比较：纵向上，乘法分配律与乘法结合律进行比较；横向上，乘法分配律左右两个算式进行比较。每一种、每一次形式上的比较，其实都归结于意义上的比较。表面上，与乘法结合律的比较花费了教学时间，实质上却在反作用于乘法分配律的理解和记忆，比较常常能够达到一举两得的功效。为此，在练习中，教师可以用25×44大做文章，如果变成25×（4×11），则用乘法结合律简算，如果变成25×（40+4），则用乘法分配律简算（其实也就是竖式乘法的算法），一题两法，对比强烈。

比较可以强记，由此，教师在教学中不妨插入一些如错例2这样的反例，一方面可以让学生在对比中清晰地认识并掌握乘法分配律的结构特征，另一方面可以克服学生“凡是这节课教的都可以用乘法分配律”的思维定势，再一方面可以使学生领教审题的重要性。

综上所述，学生背得出，并不表示就学会了，学生背得熟练，并不表示就能够熟“练”。要能够熟“练”，反复操练固然必不可少，但若能明明白白地操练无疑是上上之策，首先能“知其理”，然后能“识其貌”，如此的“知”“识”学习，才能让学生更好地掌握知识。

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用长方形周长来形象化乘法分配律有一定的局限性，教师一般用长方形面积来“画”出乘法分配律（如图1），这样的图例可以从上述“铺地砖”的生活情境中抽象出来。当然，教师也可以先把“铺地砖”半抽象成格子图（如图2），作为乘法分配律从数到形之间的过渡，于是，教师可以进行如下教学铺垫。

图1

1.一排排地出示绿色小正方形，计算总个数，得到算式5×3。

2.出示算式4×3，你想到了怎样的画面？一排排地出示蓝色小正方形。

图2

3.问：小正方形一共有多少个？引导学生列出综合算式5×3+4×3和（5+4）×3。对于（5+4）×3，教师可动态演示两个图形的合并过程。

接着，根据上述教学过程，可以把上面的合并图去除格子线，就进一步抽象成前述“（a+b）×c=a×c+b×c”所表示的长方形面积图。

最后，教师还应该回到知识的源头来理解乘法分配律。顺着上述图形示意，逐步从“几个小正方形”抽象到“几个几”，也就是最终用乘法意义来解释乘法分配律。

总之，对于乘法分配律的教学，教师不能仅仅满足于让学生采用不完全归纳法发现规律，还应该注重乘法分配律从生活表征到图形表征到数学表征的抽象过程，知道了乘法分配律的意义，也就能够实现有意义的建构，乘法分配律的特征也就能够铭记于心。至此，访谈中执教教师的困惑——“没能够真正理解其内涵，只是在机械地背诵和纯粹地模仿”也就会烟消云散。

二是强化乘法分配律的外在特征，让学生有联想地记忆。有意义记忆可以延长知识的保存时间，但也不是一劳永逸，还取决于学生是否对知识的外形了然于心，所以，形式上的记忆也很重要，学生只要想到乘法分配律，脑中就能够自动跳出它的模型。

然而，单调的背记会让学生生厌。对此，有一位教师采用比喻的方式帮助学生记忆“a×（b+c）=a×b + a×c”的形式：a喜欢交朋友，先与b乘一乘，再与c乘一乘，最后一起手拉手。

还有一位教师则讲得更有意思：a妈妈有两个儿子，一个是b，一个是c。b和c先住在一起，后来b和c长大要分家了，a妈妈既要拉b的手又要拉c的手。为什么？因为a既是b的妈妈又是c的妈妈。少拉了一个儿子的手，另外一个儿子会认为妈妈太偏心，会伤心的。

这样的比喻虽然不十分科学，但足以达到趣味化辅助记忆的目的。正因为是辅助，所以这样的“幽默一记”应该放在规范化记忆之后。调查表明：如果在叙述一个概念时，紧接着举一个幽默的例子解释概念，可以帮助学生理解。以幽默的方法点拨知识，特别对一些抽象的数学内容和深奥的数学道理，可以使其通俗化，从而降低知识难度，提高理解效度。

当然，教师还可以抓住乘法分配律中的“分配”两字，帮助学生记忆和运用：先把“（b+c）”分成两部分，然后把b和c分别配给a相乘，最后合起来。

有意义的知识建构加上有意思的知识建“构”，可以最大程度地防止或延缓访谈中执教教师所担心的——“课后学生对乘法分配律的遗忘速度更是非常快”。

从上述错例3可以知道，学生对于乘法分配律，最容易与乘法结合律发生混淆。另外还可以知道，比较也是强化知识特征的有效方法。除了从结构上比较之外，教师还可以从意义上比较。当然，受制于学生的学习内容，教师还不能把乘法结合律表征为长方体的体积，但可以借助生活情境来帮助学生理解两者意义的不同。例如，有一位教师这样设计乘法分配律与乘法结合律的比较教学。

1.出示28×（4×2），问：如果28表示每壶油28元，那么这个算式的每一步计算可能表示什么？结合学生的解释画出示意图：

那么，28×4×2这个算式每一步表示什么？

2.将28×（4×2）改成28×（4+2），它们表示的含义一样吗？

3.如果28×（4+2）去掉括号——28×4+2，又会发生什么变化呢？那么25×（4+2）去掉括号应写成什么样呢？

4.讨论：同样是去括号，为什么28×（4+2）=28×4+28×2中28出现了两次，而28×（4×2）=28×4×2中28只用了一次？

上述教例，运用了多种比较和多次比较：纵向上，乘法分配律与乘法结合律进行比较；横向上，乘法分配律左右两个算式进行比较。每一种、每一次形式上的比较，其实都归结于意义上的比较。表面上，与乘法结合律的比较花费了教学时间，实质上却在反作用于乘法分配律的理解和记忆，比较常常能够达到一举两得的功效。为此，在练习中，教师可以用25×44大做文章，如果变成25×（4×11），则用乘法结合律简算，如果变成25×（40+4），则用乘法分配律简算（其实也就是竖式乘法的算法），一题两法，对比强烈。

比较可以强记，由此，教师在教学中不妨插入一些如错例2这样的反例，一方面可以让学生在对比中清晰地认识并掌握乘法分配律的结构特征，另一方面可以克服学生“凡是这节课教的都可以用乘法分配律”的思维定势，再一方面可以使学生领教审题的重要性。

综上所述，学生背得出，并不表示就学会了，学生背得熟练，并不表示就能够熟“练”。要能够熟“练”，反复操练固然必不可少，但若能明明白白地操练无疑是上上之策，首先能“知其理”，然后能“识其貌”，如此的“知”“识”学习，才能让学生更好地掌握知识。

（江苏省无锡市锡山区东亭实验小学 214101

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