巧用运算

朱亚邦

七年级上册数学教科书中介绍了有理数的加法和乘法的运算律，这是很重要的运算方法，它在很多有理数运算中起到简化运算的作用，使解题思路变得简捷，对培养同学们的思维能力和创新能力都有着独特的作用.本文介绍如何巧妙运用这些运算律解题.

一、加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

例1计算：（239.78+71.23）+28.77.

先从小括号内算起显然比较麻烦，若先把71.23与28.77结合起来，相加后结果为整数，然后再和第一个数相加，这样就简便多了.

解：原式=239.78+（71.23+28.77）

=239.78+100=339.78.

二、乘法交换律：ab=ba.

例2计算：420×9×.

因为420×可以约分化简，所以应在运算中交换9和的位置.

解：原式=420××9=60×9=540.

三、乘法结合律：（ab）c=a（bc）.

例3计算：［25×（-0.125）］×（-8）.

因为（-0.125）×（-8）=1，所以先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，这样更简单.

解：原式=25×［（-0.125）×（-8）］=25×1=25.

四、乘法分配律：a（b+c）=ab+ac.

例4计算：8×+×-+.

8与第一个括号内的分数相乘仍会得分数，若8与第二个括号内的分数相乘，结果为整数，因此可先把8与第二个括号内各数相乘.

解：原式=8×-+×+

=（5-2+4）×+

=7×+

=1+

=2.

五、逆用分配律：ab+ac=a（b+c）.

1. 直接逆用分配律.

例5计算：66×176-66×34-66×42.

按一般计算规则，要先进行3次乘法运算，再进行2次减法运算，共需进行5次运算.注意到式子中有共同因数66，因此，应将分配律反过来应用.

解： 原式=66×（176 － 34 － 42）=66×100=6 600.

2. 拆数后逐步逆用分配律.

例6计算：99×99+199.

直接计算将会很复杂，我们可以把199变成99+100，这样就可以逆用分配律进行计算.

解： 原式=99×99+99+100

=99×（99+1）+100

=99×100+100

=100×（99+1）

=100×100 =10 000.

3. 变形后逆用分配律.

例7计算：13+6 ÷ 2+1.

先把带分数化成假分数，即将原式变成+ ÷ +，逆用分配律将前后两个括号内的公因数提取后再计算.

解： 原式=+ ÷ +

=125×+ ÷ ［25×+］

=125 ÷ 25=5.

六、拆数后应用分配律.

例8计算：25×-11×.

这道题若直接进行计算比较麻烦，但我们发现，24与25相差1，11与12也相差1，因此可以把25拆成24+1，把11拆成12-1，这样可以运用分配律，便于约分化简.

解：原式=（24+1）×-（12-1）×

=23+-11+

=13.

七、添数后应用分配律.

例9计算：++++.

此题可以按常规方法通分进行计算，但这样做比较复杂，我们可以取各分母的最小公倍数60来乘各个数，所得结果再除以60即可.

解：原式=++++×60 ÷ 60

=（20+10+6+5+4） ÷ 60

=.

八、引申后应用分配律.

例10计算： ÷ +++++++++ ÷ .

因为前后两部分互为倒数，所以我们只需计算出后半部分的结果即可.

解：++++÷

=++++×60=45.

故 ÷ ++++=.

原式=+45=45.

九、分配律正、逆同用.

例11计算：

-+-×12×-3×1+4×1.

12×-3×1+4×1可变形为12×-12×+12×，我们发现，可以逆用分配律，得12×-+=12，然后再用12乘前面括号内各数，正用分配律.

解：原式=-+-×（12×-12×+12×）

=-+-×12×（-+）

=-+-×12

= -5+2-9= -12.

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