“形”和“神”哪一个更重要

贾红国

前段时间听了几节教学能手的选拔课，课题为《对数函数及其性质》，在评课期间，有位评委老师提出一个问题：函数f（x）=3log2x是否为对数函数？有一些辅导资料为了加深对定义的理解，经常给出一些函数让辨析，这种资料上大部分都把函数f（x）=3log2x是看成不是对数函数来对待；有的老师给出这样的答案：基本初等函数有其形式化的定义，比如对数函数f（x）=logax是，要想是对数函数必须满足三个条件：①底数位置必须是常数a；②真数位置必须是x，不能是关于x的表达式；③表达式的系数必须是1。

为决绝这个问题，我们先从教材中对数函数的定义说起：

在人教A版的定义为：

我们把函y=logax（a>0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）

在人教B版中是这样写的：对数函数通常写成y=logax（a>0，a≠1，x>0）；

在苏教版中是这样的：y=logax（a>0，a≠1）叫做对数函数，函数的定义域是（0，+∞）

通过比较三种版本的教材中的定义，我们不难发现：若是从对数函数的形式上来看，函数y=3log2x均不太符合定义中的形式，那么函数y=3log2x就真的不是对数函数吗？

在人教A版教材这样写的：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。

若从这个角度来考虑，函数y=3log2x可以转化为函数g（x）=logx，由于函数f（x）和函数g（x）的定义域相同，请别对应关系完全一致，又因为g（x）是对数函数没有任何的悬念，故f（x）是对数函数。

我们最后从对数与对数函数的关系说起：

对数的定义：

如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，

记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

上文中对数函数的定义都是定义的以a为底的对数，就好像我们经常把定义中的以a为底的对数函数简单的说为对数函数一样，这样的话我们对对数函数的定义又有了新的认识：定义中只是给的以a为底的对数函数，还有以，，……为底的对数，所以我们不能只是简单的认为对数函数只有以a为底的。

综上我们可以得到：函数f（x）=3log2x是指数函数，并且是以为底的对数函数。

反思我们这个问题，其症结在于对数函数的不唯一性，数学中这样的问题还有很多，譬如：f（x）=sin-x是不是正弦函数，是不是基本初等函数？g（x）=22x是不是指数函数，是不是基本初等函数？依据上述的理由我们可以知道：f（x）=sin-x不是正弦函数，而是余弦函数，当然是基本初等函数；而g（x）=22x是指数函数，也是基本初等函数。

由此提醒我们，在数学上，“形”固然重要，但更为重要的是“神”。所以我们在提出或解决数学问题时一定要注意科学性、严谨性。一定要透过现象看本质，从本质上研究问题。