专项训练 提升“解决问题”的能力

孙晓燕

摘 要：随着新课程标准的深入，提升小学数学“解决问题”能力，已越来越成为大家关注及研究的焦点。基于这样的背景，以小学数学为样本，对提升“解决问题”能力进行了专项整治；提出促使小学数学“解决问题”走出当前低迷状态的一些心得和策略。

关键词：解决问题；专项训练；画图；联想；意义

2001年新课改以后，在九年义务教育中占突出地位的“应用题”消失了，取而代之的是“解决问题”。直到目前，大家对解决问题还存在一些问题：应用题到解决问题是名称改变，还是本质改变？如何科学界定数学中的解决问题？它是一种理念、一种学与教的方式，还是一种数学问题的阐述形式？

笔者认为，“解决问题”脱胎于应用题，但绝不同于应用题。解决问题是个体在一个新情境下，根据已有的知识和经验对发现的新问题寻求答案的心理过程。这里讲的“问题”是初次见面的新问题，解决问题的策略也是新的；具体来说，是无法从已掌握的知识或经验中直接找出现成的方法以达到解决问题的目的，至少要利用已有的知识、技能、方法进行复杂的加工，它是学生克服各种障碍的探究活动。如果再运用已知的方法、策略去解决其他问题，就不再是“解决问题”，而是一般的练习作业了。“解决问题”是对传统应用题的继承和改造，具有知识应用与思维训练等多重价值。

“解决问题”对小学数学来说永远是一块难啃的骨头。教材中关于解决问题的专门教学只有零星的几堂课，更多的是零散地贯穿于教学当中。尽管新教材已用了近十年，我们不禁还是要问：这样一项重要能力我们如何来培养？以下是笔者在平时教学中发现的一些问题和自己思考后进行的一些梳理。

一、让画图成为解决问题的方法

1.问题情景描述

在教学“倍数的认识”一课的作业练习时有这么一道线段图：

■

有学生列的算式是

苹果：18×2=9

香蕉：3×6+8=26

本以为学生又是粗心把9看成了6，于是，我就耐心地问了学生。

师：你怎么会是3×6+8呢？又粗心，把9抄成6了吧！

生：没看错啊。（心里想着这孩子事实都摆在面前了，居然还不认帐。）

师：那你怎么写成3×6+8？怎么想的呢？（耐着性子继续问）

生：我是这样想的：这一小段嘛，可以自己随便想一个数的，你想写几就可以写几。我把它当成6，有这样的3段，就是3×6，还多了8，就是再加上8。

于是，我终于明白，原来问题在这里：学生对于单独的线段图的理解是到位的，但根本就没有将三幅线段图联系起来看，而是把香蕉当成是独立的一幅图。

“错误的回答通常不是粗心所致，也不是教师没有教过这方面的知识，或者缺乏对问题的思考。错误的回答常常有着理论的支撑。如果你想学生修正并优化他们已知的，理解学生们的理解就是非常重要的。”

“当你走近学生，了解学生的时候，你会发现这背后隐藏着一个很大的漏洞，还等着你去弥补。”

思考：在解答问题有困难时，很多教师会说画线段图试试看，但结果是不少学生不太会画图，画了图又不会读图。原本想让画图成为解决问题的方法，却不知又成为学生解决这道应用题的另一个新障碍。是不是可以这样说，画图只是解决问题的一个手段，而没有被学生认可为一种真正的好方法。手段和方法是不一样的。从手段到方法需通过一定的过程。手段只是一种工具、一种载体，手段成为方法还需要技能训练、

分析原因，线段图的呈现无疑会将数量之间的关系有意地进行割裂，给学生的学习又造成了新障碍。比如上述这道题，如用文字表达香蕉是苹果的3倍多8个，香蕉与苹果之间的关系是显而易见的，但到了图中，关系并不是直接告诉的，需要孩子们自己去寻找去共建，根据上下图之间的关系找到两者之间的关系。而对于这套线段图并不是很关注的教材，平时训练又比较少的情况下画图、看图并不容易。

2.专项训练目标

线段图是解决问题的重要方法之一，线段图的教学不需太强化但也不能忽视，需要挖掘以往教材中线段图教学的精华，适当取舍，进行有意识的价值引领，不断在各种需要的情境中让学生体会理解线段图的妙用，并逐步掌握画线段图的技能和方法，让学生学得更灵活更自主，为以后学生自主选择解决问题的策略做好渗透教学，逐步形成一种数学素养。

3.专项训练内容

（1）认识到画线段图的重要性

①化抽象为具体

线段图采用了数与形相结合的形式，将事物之间的数量关系一目了然地表示出来，使抽象问题具体化，复杂关系明朗化。这是小学数学学习中常用的一种解题策略。尤其在学习分数百分数的应用题、行程问题等实际问题时，学生只要把部分与整体的关系、具体数量与比率的对应关系正确地表示出来，解决问题的任务就完成了一半。

如让学生用画图来表示“苹果有5个，梨比苹果多3个”这一数量关系。学生尝试画图，大部分学生都选择了用图形代替苹果来画图，少量的学生画了线段图。学生觉得两幅图都能反映两个量的关系。甚至是前一幅图更形象。接着教师又说：说的很好。我还有一个问题，如果告诉我们苹果有a个，梨比苹果多b个。也用画图表示他们的关系，你会怎样表示？这个时候学生认识到了图形是有局限性的，在表示两个量关系上線段图更具有优势。

要让学生接受画图、画线段图，教师需要有意识地创设情境让学生感受到线段图的重要性以及在解决问题中的优势。

②化难为易

有的题目，数量关系比较复杂，学生难以理清，借助线段图可以准确找出数量间的对应关系，很容易解出要求的问题。如有这样一道情景题：林林的爷爷今年75岁了，他们家张罗着要给爷爷做寿，林林还有两个哥哥，也就是说爷爷一共有三个孙子，他们分别是25岁、15岁、5岁，林林是最小的。寿筵可热闹了，爷爷对三个孙子讲自己以前受苦的日子，爷爷说：“如果我还能看到你们三个人的岁数加起来等于我的岁数就好了。”他们三个对了对眼，异口同声地说：“爷爷，您一定能看到。”爷爷听了，高兴地笑了起来。我很疑惑，再过多少年爷爷的年龄是他们三个人的年龄和呢？教学时，教师就可以引导学生画出以上的线段图，从线段图中很容易得出解题算式（75-45）÷（3-1）=15（年）。

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③化繁为简

有些题目数量较多，数量关系学生感觉比较乱，学生容易混淆。通过画线段图，可以帮助学生理清其中的数量关系。

④化知识为能力

线段图不但使学生解决问题不再困难，而且借助线段图，可以对学生进行多种能力的培养。如一题多解能力的培养、根据线段图来编题，进行说话能力的培养等。

（2）有序规划，逐步学会看、画线段图。

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（3）加强题、图、式的连结，以帮助学生深层思考

在研究解题错误类型中发现，二年级学生图示的困难主要是减法基模错误，线段图概念不稳固，无法找到正确的较大集合，在较大集合中分出较小集合与差异量。台湾学者林秀燕（2005）在研究中指出图示策略对于学生在“比多少”应用题的解题上，具有良好的保留效果。可见图示策略确实能够帮助学生解题时，做深层的省思，避免掉入关键字的陷阱里。特别是比多少应用题，通过画线段图帮助理解，寻求解题思路带来的直观性帮助，能使图示效果发挥最大功效。

例如，“阅览室有489本童话书，童话书比漫画书少457本。漫画书有几本？”部分学生读题后眉头紧皱，对该题的结构模糊不清，感到无从下手。此时教师可引导分三步逐步画出线段图来帮助解题。

①阅览室有489本童话书，用线段图表示：■

②童话书比漫画书少457本，漫画书有几本？说明漫画书更多，线段应该画得更长。线段图表示：■

③标明相差量：■

将线段图画好后，这道题数量之间的关系也就一目了然了。此题的等量即漫画书的数量=童话书的数量+相差量，因此求漫画书的数量只要用童话书的数量加相差量，也就是489加457即可。

二、加强联想，提升信息敏感度

1.问题情景描述

这是一节分数乘法的复习课，教师出示了这样一个信息：男生是女生的■，根据这句话你能想到什么？很欣赏上课的老师设计这样的环节，说得越多，说明学生产生了大量有价值的数学联想，并给予了清晰的表达。说明学生的知识沟通能力是比较强的。期待着学生的精彩发言，但是十分遗憾，教室里居然沉默了好一会儿也没人发言，经过教师的启发，只有个别学生说出：男生是全班人数的十分之三，女生是全班人数的十分之七。女生是男生的多少？就没有其他答案了。

思考：当时心里很纳闷，怎么会是这样的状况，这样的学习情况只能解答较为简单的问题，稍有变式就很困难。为什么会产生这样的情况，分析原因，我觉得教师在日常教学中对于类似“看到问题或条件说说你想到了什么？”这样的训练是比较少的。这也造成呈现题目后学生不能快速进行相关条件的联系与沟通。

2.专项训练目标

根据已知信息、问题或算式进行联想能促使学生构建良好的数学模型、较好地运用数量关系来解决相关问题。教师需要安排内容进行经常性地相应训练，对一些主要的数量关系、基本的模型学生应有较高的敏感度，提高分析、综合能力，以较大程度地提升学生解决问题的能力。

3.专项训练内容

（1）找相关联的信息

老师在平时的教学习题中可以给学生提供一些信息，让学生在多条信息中找到相关联的量。例如：

选择信息，使它们分别成为一道连乘应用题，并列式计算。

问题一：小林一星期（7天）能跑多少米？选择（）号和（）号信息；

问题二：育才小学4层教学楼共装了多少盏吊扇？选择（）号和（）号信息。

①每间教室有2盏吊扇；②每天跑步400米，

③每天跑4圈； ④每间教室有6排座位；

⑤每层楼有5间教室；⑥每圈200米。

上述信息中，①和⑤是相关的量；④和⑤也是相关的量。

根据这些相关的量能够求出什么？再如③和⑥是相关的量，通过这两个量可以求出每天跑多少米。

教学时可以问②和⑥为什么不是相关的量；还可以创编一个与②相关的量，可以编跑了4天。通过找相关聯的信息来促使学生经常性地熟悉数量关系，不断提升学生们的一种信息敏感度。

文字中可以找相关联的量，图形中也可以找相关联的量。如下图：

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3元一根和30根是相关联的两个量；8箱冰棍和30根是两个相关联的量。

（2）重视基本结构的训练

知道怎样才能构成一道完整的应用题。缺少条件要补充条件，缺少问题要补充问题，条件与条件、条件与问题之间要有一定的联系。教学时可以进行提问题、填条件的练习。通过训练，使学生看到相关联的两个条件能提出问题，看到一个问题一个条件就能意识到还要补充什么条件。这一训练还可以使学生加深对应用题数量关系的认识，也为今后教学复合应用题提出中间问题做准备。

教学时还可以安排有多余或缺少信息的题目的单项练习。例如，“托姆有4只小狗，萨姆有3只小猫，巴布有5只小狗。一共有多少只小狗？”“同学们去钓鱼，一半人没去过，没去过的有多少同学？”通过这样的题目，可以使学生根据问题正确选择必需的已知数，从而有助于提高学生分析问题的能力。

（3）根据已知条件或问题你能想到什么

教学中可以经常性地出现看到条件、问题你能知道什么。出现以加、减、乘、除为基本运算的多样信息让学生进行述说。如小红40朵、小丽20朵，想到什么：小红给小丽5朵两人就一样多等等。小红的朵数比小丽的2倍多5朵，想到什么？在这个过程中也可结合相应的图示，使学生对类似的数量关系理解得更为清晰到位。

（4）寻找薄弱环节，针对性地练习

应用题中学生的信息敏感性中，对于差的总量对应差的份数是比较弱的。

如：聪聪和明明在同一个游泳池游泳，聪聪游了3个来回，明明游了5个来回。明明比聪聪多游了100米，游一个来回是多少米？

成人比较习惯于这样的题但对于孩子来说却是困难的。

再如：长江三峡水库总库容大约是黄河小浪底水库的3倍。黄河小浪底水库的总库容比长江三峡水库少260亿立方米。长江三峡水库的总库容是多少亿立方米？

学生往往找不到260对应的量，列式为260÷3。对此，教师可在教学中构建完善的数率对应的类型。不仅是和倍、差倍也要进行适当的补充。

这些训练都是为了加强数量关系教学。近年来，要求新教材解决问题“加强数量关系教学”的呼声增多。这一呼声反映了解决问题教学的内在要求。因为不管题目的呈现方式如何变化，只要它“根据已知信息解答相关问题”的本质属性不变，就必须引导学生分析数量关系。只有熟悉常见的数量关系，掌握分析与综合的思考方法，学生在获取信息后才能迅速根据问题情境中的数量关系，正确作出解题方法的判断。如果一个学生搞不清数量之间的关系，怎么会提出问题、分析问题、解决问题呢？解决问题教学，不能只强调“自主创新”，还要注意“打好基础”，没有基础怎么创新呢？让学生掌握分析、综合的思维方法并内化成解决问题的策略，是一项阶段性工程，需要我们教师结合教学内容作出整体规划。

三、淡化类型，注重意义理解

1.问题情景描述

曾听六年级“利率”一课，教师全程都没有环节让学生理解什么是利率，而是很快地呈现公式：本金×利率×时间=利息，解题时要求学生根据公式来说明解题思路。课后我询问了坐在教室后面几排的学生，利率是什么意思，没有一个学生能回答上来。不理解“利率”的意义意味着学生又多学了一个新的问题，又增加了新的学习负担，他在解答这类题的时候要去想公式是怎样的，一定会去套用公式。

把利率这一知识点的教学和百分数的内容割裂开来。如果学生理解利息与本金的比值就是利率，就是利息占本金的百分比，那么这节课就通过百分数这个体系当中去了，无非就是百分率的其中一种表现形式而已，它与出勤率、发芽率等都是相通的。

新课程的解决问题和传统的应用题教学有着本质的不同。

新课程解决问题的关键是分析数量关系，数量关系的核心又是概念和运算的意义。因此最终解决问题的核心、根是概念和运算的意义。

2.专项训练目标

解决问题的核心支持是概念和运算的意义。注重意义理解，才能更好地有助于学生分析数量关系，建立数学模型，为学生提供有效的解决问题的思路。教学中需思考支撑实际问题情境的运算意义，经历实际问题与运算意义有机联系的过程，在充分理解运算意义的基础上探索解题思路。

3.专项训练内容

（1）淡化类型

以往应用题教学过于注重问题的类型和固定解法，套搬题型的现象比较严重。这样做可以提高学生解答符合“题型”时的问题的速度，但不利于培养学生解决实际问题的能力。没有了传统的应用题类型，不去训练学生记忆一些基本应用题的类型，如何指导学生分析问题和解决问题呢？曾拜读过张奠宙教授的《应用题要有类型，但是不要“类型化”》一文，文中讲到要淡化分类是必然的趋势，但是也不能走向另一个极端：不讲类型。有的地方不准叫“应用题”，今天学“铅笔有几枝”，明天学“燕子飞走了”，不做一些基本的分类和概括，实际上是作茧自缚，矫枉过正的表现。张教授还指出，长期以来，为了强调某种数量关系的理解，我们常常强化某种类型问题的解题方法。但无论如何，以下的7种类型是必须进行正面提出，让学生认真学习的。

行程问题路程=速度×时间

工程问题 工作量=工作时间×工作效率

价格问题总价格=单价×数量

利息问题利息=本金×利率

利润问题利润=成本×利润率

折扣问题金额=价格×折扣率

百分数问题 数量=总量×百分比

我们的小学应用题必须讲解这些类型。这些概念是生活需要的常识，又是语文、社会等其他学科不会详细涉及的。一种异化的做法是，按照问题情境，把应用题类型固化，专对一类情境归纳公式，而且凭强记、快做争取考试成绩，就把路走歪了。例如，当学习完“梨树有20棵，苹果树比梨树多8棵，苹果树有多少棵？”老师强调：看到“多”就想到“加”，于是，当学生看到“梨树有20棵，比苹果树多8棵，苹果树有多少棵？”学生总是先想到“加法”，结果错了。当学习完“科技书有20本，故事书比科技书的2倍还多2本，故事书有多少本”，老师强调：看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。于是，当学生看到“科技书有20本，比故事书的2倍还多2本，故事书有多少本”时，学生总是先想到用“乘加”，结果又错了。以上是简单的错误，都来自固化数学的某种模型。讲死了，思维变得机械了。要类型，但是不要“类型化”。这就是我们的结论。

（2）关注四则运算意义的理解

需要知道加减乘除这四类基本运算的模型的基本类型。

以加法做合并或移入的模型；以减法做拿走、比较、移出或加法逆运算的模型；以乘法做大小的变化、交叉相乘或比率因子的使用模型；以除法做比、率、比率除法、大小变化除法和乘法的逆运算的模型”。

例如乘法的学习，二年级教材提供的是“求幾个相同数的和”的结构的实际情境，然后从中抽象出乘法；然后，学生将开始接触到具有“倍”的实际情境；在三年级面积学习时，学生又接触到乘法在“求长方形面积”的实际情境中的运用。这些对于乘法实际背景的积累将一直延伸到小数、分数的乘法，特别是对于“倍”的认识，将扩充到“几分之几”。教学时不是去记忆、背诵类型，比如“一个数的几倍是多少”的应用题，不需要学生记忆一个数×倍数，而是提醒教师，这里又是一个新的实际背景，这个是与乘法运算有关的实际背景，需要考虑的是设计怎样的环节、经历怎样的过程将新的实际背景与运算意义进行有机联系。

曾听莫慧萍老师执教的“求两个数相差多少的应用题”一课。我们在这节课的教学中经历问题情境：操作、画图、猜测，理解运算意义几个过程，将实际背景与运算意义进行联系与沟通，学生在充分理解运算意义的过程中去探索解题思路。

师板书文字：红圆有7个，黄圆有5个，红圆比黄圆多几个？

按以往可以很简单地教学，已知红圆是大数，黄圆是小数，求相差数用减法。如果这样的教学固然能套用类型达到快速解题的作用，但是对于学生的理解是比较抽象的。在这节课的教学中，莫老师着重于让学生看图、操作、画图等形式，将这类应用题与减法的意义联系起来，从而选择用减法解决问题：从7个红圆里同去掉和它对应的5个黄圆就是多的个数。

师：现在老师又放进了一些圆片（配合手势），一个对一个地摆好（配合手势），结果发现，红圆还是比黄圆多2个。

出示算式：8-6=2（个）

师：根据这个算式猜一猜，盖住了几个红圆？几个黄圆？你是怎么知道的？（课件演示）

还可能盖住了几个呢？请你在纸上画一画。

■

请2名学生说盖住了几个，请另外的学生列式。

（）-（）=2

莫老师的这个环节很好地结合减法运算的意义，学生对于本节课的数量关系理解得非常深刻。8-6=2，遮住的是对应的部分，对应的是6个圆，较大的数就是6加多的部分是8。还可能盖住了几个了，分了几个步骤来操作：一是告诉盖住的个数，猜算式，再是呈现算式猜盖住的，直观与抽象的反复，从减法运算意义出发，对学生这一类型的应用题理解得是很透彻的。

要重视教给学生联系运算意义，把解决问题中叙述的情节语言转换成数学运算，在理解的基础上用学生自己的语言叙述。对每一道题的算法，都要引导学生正确说理，学生能够将数量关系从解决问题的情节中抽象出来，纳入到已有的数学运算体系中去。通过学生操作和教师直观演示等方法，使学生对题目的数量关系比较清楚，掌握问题的分析思路，从而避免学生仅仅依靠对题中某些词语的臆断或盲目尝试来选择算法。

总之，提升解决问题能力，需要我们教师思考新的教学思路，构建新的教学体系，对解决问题有更多的思考、有更多的见解，并把这些思考更多地落实到平时的教学中去。

参考文献：

［1］周玉仁.从应用题到解决问题［J］.小学数学教师，2010（7）.

［2］张奠宙.应用题要有类型，但是不要“类型化”［J］.现代数学，2006（1）.

（作者单位 浙江省杭州市余杭区大禹小学）

编辑 孙玲娟