浅谈工科学校高等数学绪论课教学内容的设计

潘小东

【摘要】高等数学的绪论课对于学生了解这门课程的发展历程、主要内容、思想方法，以及它在整个大学阶段学习中的地位、作用，激发学生学习这门课程的兴趣具有非常重要的作用.针对工科本科院校，本文提出一种高等数学绪论课教学内容的设计思路.

【关键词】高等数学；绪论课；内容设计；工科本科院校

一、绪论课在高等数学教学中的作用

绪论是对于一门课程发展历程、主要内容、思想方法的概括，是从整体上了解、认识这门课程的关键；同时，它也为学生如何学习这门课程指明了方向.高等数学是高等院校理、工、农、医、经济、管理等类专业以及文科部分专业的一门重要的基础理论课程，是学习大学物理、材料力学、理论力学、电工基础等课程的基础，因此，对工科院校的学生尤其重要.但是，由于高等数学所包含的内容具有高度的抽象性，与现实生活存在一定的距离，从而给这门课程的教与学带来了一定的困难.

首先，高等数学到底是一门什么样的课程？这门课程要解决什么样的问题？对此，学生会存在很大的疑问.其次，我们知道，在中学，学生对数学的学习往往从直观入手，循序渐进地去理解课程的内容，比如，学习三角形，老师首先通过一个三角形的实物给学生一个直观的认识；而高等数学的学习则需要将直观认识和严密的理论推导相结合，比如极限理论的学习，曲线、曲面积分理论、级数理论均是如此.那么，到底应该如何学习高等数学？它的思想方法是什么？高等数学与初等数学相比，究竟有何不同？另外，学生往往也有这样的疑问，学了这门课程到底有什么用呢？有利于我将来的发展吗？

那么，高等数学绪论课的教学就是要解决上面的这些问题，或者解除学生对这些问题的疑问.

二、高等数学绪论课教学内容的设计思路

针对上面所提出的问题，我们认为，高等数学绪论课的教学应该包括以下几个部分的内容.

1.什么是高等数学

鉴于高等教育国际化的发展趋势，首先，我们应该向学生简要说明，高等数学这门课程在西方大学相应的对应课程是微积分（英文：calculus）.其次，介绍微积分的发展历程.微积分思想的诞生可追溯到公元前5世纪的希腊.在我国，微积分思想的出现则在公元前4世纪，春秋战国时的惠施说“一尺之棰，日取其半，万世不竭矣”，其中就蕴含了极限的思想； 公元3世纪，三国魏人刘徽在《九章算术》中提出的“割圆术”则包含了积分的雏形.微积分真正成为一门学科，是在17世纪，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹为微积分的创立作出了卓越的贡献.另外，在微积分的创立、完善的过程中，笛卡尔、费马、巴罗、柯西、魏尔斯特拉斯等人也作出了非常重要的贡献.由于教学时间的限制，关于微积分的发展历程这部分的内容，在课堂教学过程中可以只介绍微积分发展的三个关键阶段，即前期准备阶段、创立阶段以及后期完善阶段，语言尽可能的简洁，不必过于详细地去阐述.同时，把与微积分发展历程相关的比较经典的资料放在本门课程的主页上，让学生作为课外阅读材料进行学习.最后，介绍高等数学这门课程将会包含的主要教学内容.为此，可以从高等数学的研究对象入手进行说明.那么，高等数学的研究对象是什么？从总体上讲，高等数学是关于运动和变化的数学，是研究关于速度、加速度、切线、斜率、面积、体积、弧长、质心、曲率以及无限和等问题的一门数学.它以变量和变量之间的关系来刻画事物的运动和变化，因此，高等数学的研究对象是变量.它的主要教学内容包括极限理论、微分学、积分学、常微分方程、向量代数和空间解析几何以及级数理论，其中主体是微积分理论，其他内容为辅.

到此，学生可能会有一些疑问：在中学的时候，他们也学习过函数，也研究过速度、切线、面积、体积等问题，那么，高等数学在研究内容、思想方法上与中学所学习的数学（初等数学）相比究竟有何不同？

2.初等数学与高等数学的比较

从总体上讲：初等数学可以认为是一种静态的数学，以常量作为研究对象.初等数学只考虑现实世界中最简单的量的关系，只考虑常量与固定图形，使用形式逻辑的方法进行推理.

而高等数学是一种动态的数学，以变量作为研究对象.高等数学研究的是变量与图形的变化规律，使用的研究方法一般是动态的、联系的，因而也是辩证的.

例如：当物体以恒定（静态，常量）的速度运动的时候，它的运动规律可以用初等数学来描述；但是当物体在运动过程中速度是连续变化（动态，变量）的时候，它的运动规律则需要高等数学的知识来描述.

另外，可以通过下面的表格，更加清晰地给学生展示高等数学与初等数学之间的区别与联系；同时，在此基础上，指出高等数学主要的思想方法：以初等数学为基础，利用极限理论解决实际问题.

因此，对比初等数学与高等数学，可以得到下面的结论：初等数学和高等数学的研究对象不同，常量vs变量；研究方法也不一样：静止的观点vs运动的、辩证的观点.很多用初等数学方法无法求解的问题，在高等数学中可以获得求解.那么，学生可能会问，在高等数学中，究竟是如何求解上述这些问题的呢？

3.高等数学的主要思想方法

为此，可以通过简要叙述微积分基本问题——切线问题和求积问题的求解思路来说明高等数学主要的思想方法.在高等数学中，解决问题所采用的主要思想方法是：以初等数学为基础，利用极限过程求解.

切线问题（将极限过程应用于直线的斜率）：这个问题本身是纯几何的，但它对于科学应用有着巨大的重要性，包括天文、物理等领域.求已知曲线在点M0处的切线，本质上是想找一条直线，使得该直线在点M0处与曲线一致并且在点M0的附近与曲线最接近.除去切线垂直于x軸的情况外，这个问题就是计算在点x0处的切线的斜率.为此，在曲线上取M0之外的另外一点M1，作连接M0和M1的直线，得割线.割线的斜率可以按照初等数学的方法求得，让M1沿着曲线向M0逼近；可以发现，在M1逼近M0的过程中，割线无限地接近切线，这时候，如果割线的极限位置存在，则取极限位置处割线的斜率为切线的斜率.

这个问题的圆满解决首先需要将“割线向切线逼近的过程”用精确的方式描述出来，也就是需要建立极限理论；其次，切线的斜率的求解则需要建立导数（或者微分）理论，这些都属于微分学的研究内容.

求积问题（将极限过程应用于矩形面积）：求解由光滑曲线所围成的平面图形的面积，这也是一个与很多科学实践问题关系密切的重要的问题.最简单的情形：曲边梯形.为了求出曲边梯形的面积，取曲线上位于区间[a，b]上的一点，作矩形；可以发现，随着矩形个数的增加，这些矩形面积的和无限地接近于曲边梯形的面积.

这里，矩形面积的和逼近于曲边梯形面积的过程的描述需要极限理论，曲边梯形面积的求解则依赖于积分理论的建立，这些都属于积分学的研究内容.

从某种意义上讲，高等数学可以看成是将极限理论应用于初等数学所发展起来的一门数学.因此，初等数学是高等数学的基础，“极限”是高等数学的核心概念，可以说，没有极限理论，就没有高等数学.

学习高等数学不是简单地记忆高等数学中的各种数学公式，重要的是理解和掌握极限的思想，并学会用极限的思想解决实际问题.

4.高等数学的应用领域

在绪论课中介绍高等数学的应用领域，对提高学生对这门课程的学习兴趣具有非常重要的意义.由于是绪论课，因此只需要介绍高等数学所涉及的应用领域以及应用结果，不需要介绍应用的过程，至于如何应用，则可作为悬念提出.高等数学的应用领域包括以下几个方面：（1）工程物理学领域，包括水库的容积、浮力的计算、地震强度的计算、桥梁的设计、卫星轨道的离心率、高速公路的设计、草地洒水装置的设计等.（2）商业和金融领域，包括养老金问题、收支平衡分析、消费价格指数、最大利润、边际成本、边际收益等.（3）社会和行为科学领域，包括国防经费的预算、人口增长的预测、学习曲线的建立等.（4）生命科学领域，包括血液的流动、细菌的增长、二氧化碳的浓度、转染病模型的建立等.（5）其他领域：牙齿的镶嵌（向量代数）、排队模型的建立等.更详细的内容可参考文献[1，4].

由于教学的对象是工科院校的本科学生，因此，在讲授高等数学的过程中，很重要的一点是将高等数学的理论与工程实践问题相结合，特别是在选择例题的时候，应尽可能选择与工程实践问题密切相关的实例，同时也可以以一些实际的工程实践问题作为高等数学课程的课后作业，这样也可以发挥各种计算机应用软件这些现代化的工具在高等数学学习中的作用.

三、总 结

高等数学是以极限作为工具研究函数的一门数学，是高等学校理、工、农、医、经济、管理等类专业以及文科部分专业的一门重要的基础课，是学习大学物理、材料力学、理论力学、电工基础等课程的基础.这门课程的特点是：高度的抽象性、严谨的逻辑性、应用的广泛性.学习高等数学首先要熟悉初等数学的理论和方法，学好高等数学重要的是要掌握它解决问题的思想方法，将理论和实践相结合.由于绪论课课时有限，本文所设计的教学内容并不需要全部都包含在一堂高等数学绪论课的教学过程中，这里我们只是提出一种绪论课教学内容的设计思路，供读者参考.另外，文献[2，3]在我们准备高等数学绪论课教学的过程中也有很好的指导作用.

【注释】

本文为西南交通大学教学改革项目资助成果.课题名称：工科研究型大学公共数学课程体系改革与实践.

【参考文献】

[1]Gary Hosler Meisters.Tooth Tables： Solution of a Dental Problem by Vector Algebra，1982，55：274-280.

[2]李心灿.试谈数学绪论课的讲授.教学与教材研究，1994（1）：47-48.

[3]全生寅.高等數学教程： 思想、方法、理论、应用.西安：西安交通大学出版社，2005.

[4]Ron Larson，Bruce H Edwards.Calculus （Ninth edition），2010.