从一道函数值域题看函数与方程思想

孙志业

【摘要】函数值域题是学习函数的一个重要知识点.从函数本身来说，和方程有很多相似之处，或者可以说是从方程思想开始入手，并进行解题过程.本文就通过一道函数值域题来细看函数和方程思想的关系.

【关键词】函数；方程思想；数学教学

文献中，原题是求一个函数y=x+x（2-x）的值域.作者给出了四种解法，有通法，也有精妙的构思.但笔者在看到第一种解法，即利用函数与方程的关系，将函数问题转化为二次方程判别式问题的方法时，觉得这种解法的解释不够完美，不能很好地解释函数与方程的关系.所以希望能做补充和解释，不当之处，望各位同行批评指正.现将原解答摘抄如下：

笔者所举例的变式解法非常多，如三角换元、导数法，或者利用“数形结合”的构造法.但本文旨在说明这种类型函数，用函数与方程的想法解題时如何避免探讨非等价条件解错值域.这里就不一一将其他方法列举，只说明这些方法都是可行的，读者若感兴趣，可自行证明.

【参考文献】

一道函数值域题的四种解法. 数学通讯，2013（4）.