解决直线和圆锥曲线综合问题的三步策略

施雯

直线交圆锥曲线就会在曲线内形成弦，在曲线上产生两个交点。这一弦，两点就构成了命题的基础元素：有弦可以涉及到弦長，有点必要研究坐标。若再和其他的一些特殊点结合在一起，形成一些特殊关系，题型就会进一步复杂化，对学生分析问题，解决问题的能力层次要求较高，运算能力要求强。学生在解答时，往往表现为无从下手或者半途而废。

结合多年的教学实践，笔者认为解决直线与圆锥曲线的问题可以采用以下策略：

一、通观全局，局部入手，找准切入点解析几何是用代数的方法来研究几何问题的一门学科，因此正确，精准地找出题目中所蕴含的几何特征是解决这类问题的先决条件。高三第一轮复习时，我都会问学生同一个问题：“在直线与圆锥曲线的相交问题中，关键的几何特征是什么？”每次得到的回答几乎是惊人的一致：“直线与曲线有两个交点呗！”我笑而不答，却出示了下列这一题组。

已知过点 的直线 与椭圆 交于两点

设A ，若 ，求直线 的斜率

B是椭圆的右顶点，且 的角平分线是 轴，求直线 的斜率

以线段 为邻边做平行四边形 ，其中顶点 在椭圆 上， 为坐标原点，求 到直线 距离的最小值

若以 为直径的圆过原点，求直线 的斜率

点 为直线 与该椭圆在第一象限的交点，平行于 的直线 交椭圆于 两点，求证：直线 与 轴始终围成一个等腰三角形

该例题以直线 与椭圆交于两点作为公共条件，但在此条件下，却展现了五种不同的问题情境。读完此题组，同学们顿悟：直线 与椭圆交于两点只是这一类问题的背景，而直线或交点与一些特殊点结合在一起，继而形成的那些特殊关系才是问题所要呈现的真正的几何特征。将其表述出来，即为

（1） （2） 的角平分线是 轴（3）以线段 为邻边做平行四边形 ，其中顶点 在椭圆 上（4）以 为直径的圆过原点（5）直线 与 轴始终围成一个等腰三角形，这样的阅读，寻找和表述，使同学们通观全局将直线 及其两个交点纳入题目整体的范围；又将它们和其他关键要素进行整合，局部入手，找寻在相交背景之下，每一题所呈现出的特殊几何特征。为成功解决问题找准了切入点。

二、、由表及里，把握本质，适当转化

不少学生在找到了几何特征后，都迫不及待地要将该几何特征转化成代数关系了。但当他们用代数关系表示出第（1）小题的几何特征后，却一筹莫展了。究其原因，是由于学生直接从 入手，想用两点间距离公式将其转化成关于斜率 的方程。联立方程后所得的交点坐标为 ， 。此时。很多学生都停下了笔，因为他们已经从 的值上预见了此方程的复杂性，觉得自己没有能力再解到底了

从学生的解法中可以看出，使他们半途而废的症结所在，是直接将几何条件 用代数关系来表示。事实上要将有关交点坐标的等式转化成关于斜率 的方程，不外乎两条路：其一是将直线方程代入二次曲线方程，消元，得到关于 的一元二次方程，然后利用求根公式求解，此法计算量较大 ；其二是构造交点坐标的对称关系式，虽然也要代入，消元，得到一元二次方程，但可利用韦达定理整体代换 ，无需利用求根公式求解，因此运算量要比“法一”低。

解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时的局部胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠看不清问题的实质所在。就像例题中的条件“ ”就只是浮在问题表面的几何特征而绝非本质特征。因此要想明确该题究竟是利用 “途径一”还是“途径二”解决，就必须由表及里，分析出几何条件的本质特征。为了帮助学生明确这一点，笔者设计了如下表格请学生填写：

几何条件 本质特征 转化成适当的代数关系

通过表格中的三步转化，学生看出，虽然还没有开始解题，但对于利用途径一还是途径二去解决本题，已经做到心中有数。提高了“从现象到本质，抓住事物的本质认识事物”的解题意识。

三、先想后算，适度求解，迈向成功

不少学生在掌握了如何将“几何条件代数化”的方法后，纷纷来找我诉苦：“为什么目标近在咫尺，我们却总是处于看得见，摸不到，总解不到底的尴尬境地？”笔者结合生活实际，和学生分析：围绕目标先想后算，周密计划，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里。

为了让学生强化先想后算的解题意识，笔者让学生练习了以下一个例题：

例2：设直线 过点 和椭圆 顺次交于 两点，若 试求 的取值范围

分析：本题中，绝大多数同学不难得到： ，围绕此目标先想后算，计划好求取值范围的两条路线：路线一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式。路线二是构造关于所求量的一个不等关系。

从路线一入手：设出直线方程 ，与椭圆方程联立。解之得： ，由对称性：不妨设 ，

解完此题，很多学生都由衷地发出感叹，若没有下笔前的计划部署，他们绝大多数拿到这个问题后的第一想法就是按照线路一去解，这样的想法似乎很顺畅，但对运算的要求比较高，一般的学生没有这个能力解到底。若采用路线2，构造对称式，有韦达定理转由不等式求范围，就可避免上一种解法的繁琐运算。

以上策略的应用，正是帮助学生不再被动的接受题目信息，而是主动地有选择，有序的将陌生信息，通过自身的知识经验转化成所熟识的内容，使学生享受到成功的喜悦。