曲面上曲率线与测地线的积分算法

霍云娟

摘 要 本文首先给出了曲率线和测地线的基本概念和几何性质，揭示了曲率线和测地线之间的关系，以计算不同曲面的曲率线和测地线来分析其积分算法，为深入研究NURBS曲面上曲率线和测地线的积分算法奠定了一定基础。

关键词 曲率线 测地线 曲率 积分 NURBS曲面

中图分类号：TP391 文献标识码：A

1 曲率线和测地线的基本概念

1.1 曲率线

曲面上一点的两个方向，如果它们既正交又共轭，则称为曲面在点的主方向。

设这两个方向是（） = ：，（） = ：，由于正交性，，即 + （ + ） + = 0。

曲率线：曲面上的一条曲线，如果其上每一点的切向正好时曲面在该点的主方向，这条曲线就是曲率线。

由定义可知，对于已给曲面 = （）上的曲率线由

或者微分方程

（） + （） + （） = 0

（1.1）

决定，这方程确定了曲面上两族曲率线，组成曲面上的曲率线网。

其中 （1.2）

是曲面 = （）的第一基本量，

是曲面 = （）的第二基本量。

1.2 测地线

给出一个曲面：，（）是曲面上的一条曲线：

其中是（）的自然参数。设是（）上一点，是（）在点的单位切向量，是主法向量，是副法向量。再设是曲面在点的单位法向量，%z是与的夹角，则曲面在点的切方向上的法曲率是。

命，则是彼此正交的单位向量，并且构成右手系。

曲线（）在点的曲率向量在上的投影，

，称为曲线在点的测地曲率。

曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为零，则称该曲线为测地线。测地线的微分方程是

2 曲率线与测地线的几何性质

2.1 曲率线的几何性质

定理1 曲面上一曲率线为平面曲线的充要条件是沿%<的法线曲面为柱面。

证明：设，%< ： = （）， = （）（为的弧长），

则沿%<的法线曲面方程为：。

因为柱面的充要条件是，即常矢，有，所以。即%<为平面曲线。

定理2 若沿曲率线%<的发现曲面1是一条曲线%<1的切线曲面，则%<1的方程为：，其中（）为在点处的主曲率。

证明：因为1是%<1的切线曲面，所以

%<11，又1是沿%<的法线曲面，所以%<1，且于是存在一数量函数（）使。

对求导，

而，所以

由于，所以 = 0，即= 1 /

故。

2.2 测地线的几何性质

曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为零，则称该曲线为测地线。测地线的微分方程是：

曲面上上的坐标网为正交网时，曲面上测地线方程为：

由于曲面上的法曲率和侧地挠率等有关概念都是由曲面在中的形状决定的，所以渐近线和曲率线等有关概念都不是曲面上内蕴几何的概念，但是测地曲率是曲面在保长变换下的不变的量，所以测地曲率 = 0的曲线是内蕴几何的概念。

2.3 测地线的存在性

由测地线的定义，我们可以知道，平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率，所以平面上的测地线就是直线。测地线的概念是平面上的直线的概念在曲面上的推广，下面我们就来说明这种推广的含义。

曲面上一条去现实测地线，当且仅当它是直线，或者它的主法向量处处是曲面的法向量。

证明：我们知道其中是曲线的次法向量和曲面的法向量的夹角由此可见 = 0的条件是 = 0或者。若 ≡ 0，则该曲线是直线，若≠0则，于是即曲线的主法向量是曲面的法向量。现在我们考虑测地线的微分方程。由学过的知识我们可知。

因此≡0的充要条件是

（1）

这就是测地线所满足的微分方程。

若引进新的未知函数，则方程组（1）便降价成为一阶常微分方程组：

这是拟线性常微分方程组，根据常微分方程组的理论，对于任意给定的初值，必有>0，使得方程组上述方程组有定义在区间（-，）上的唯一解 = ，满足初条件

如果初值（，）满足条件 （，） = 1

则上面给出的解 = 是曲面上以为弧长参数的一条曲线。实际上，如果命= （，）

则

并且 （0）≡0，所以 ≡0

即是曲线 = 的弧长参数。

3 曲面上曲率线与测地线的积分算法

3.1 曲面上的曲率线求法

3.1.1 双曲面的曲率线

我们对双曲面 = 进行积分算法求出曲率线

= ， = ， = ， = 0， = ， = 0， = 1 + = 1 + ， = = ， = 1 + ， = 0， = 0。

曲率线的微分方程为

化简得 = 积分得

即

故所求曲率线为

3.1.2 螺旋面的曲率线

螺旋面上的曲率线

由题可知 = 1， = 0， = + ， = 0，， = 0，

曲率线的微分方程为，

即 + （ + ） = 0，化简得，积分得即

故所求曲率线为

3.2 曲面上的测地线求法

3.2.1 NURBS曲面上测地线算法

曲面上的曲线C可以用参数方程

来表示，这里的是曲线参数。弧长的微分形式如下：

= + 2 +

于是曲面上一条曲线的长度可知，为

（1.4）

这里、是参数、分别对的偏导。，，是曲面的第一基本量

，是曲面对参数、的偏导数。

在局部范围内，测地线是连接两点曲线中弧长最短的曲线。寻找一条曲线，构造，，使得（1.4）式中的L最小。这样我们就得到了一条测地线。函数，应该满足

（1.5）

这里

上式中我们选择弧长s作为参数，（1.5）式可由以下一对非线性微分方程的形式表达

其中

式中是曲面在点（u，v）的单位法向量

是曲面方程对，的二次混合偏导，测地线轨迹可用以下四个一次微分方程

在过点（，）以及有初切向的初始条件下，通过Rung-Kutta法迭代求出唯一解，给定曲面上一点和方向，通过自适应迭代步长的选择，可自动求解出一条测地线。

3.2.2 求圆柱面的测地线

解：在圆柱面

= + ，测地线的方程量： = 0， = ， =

故 = + ，为常数，为积分常数，对应的向量式参数方程量。

3.2.3 求球面上的测地线

解：对于半径为的球面上的大圆弧，熟知： = ，法曲率 = ？，于是测地曲率 = ？= 0，从而球面上的大圆弧是测地线。

参考文献

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