学案式建模教学的初探与思考

郑海萍

摘 要：学案式教学是近年来新课程的一种新型教学方式和模式，其宗旨是教师开发符合自身学校学生特点的学案，进一步高效地实施课堂教学. 数学建模的学习有助于学生将数学知识渐渐与其他学科知识进行有效的融合，提高学生知识学习的系统性、熟练性、运用性，既提高学生应试水平，也提高学生的能力. 本文将学案式教学结合建模教学进行了校本开发，做了一些探索与思考.

关键词：数学建模；新课程；学案；思考

高中数学新课程标准指出：数学要致力于学生思维的培养、动手能力的提高，以及注重其数学实际运用能力，将形式化的数学通过学生主动的建构和自我的认知，形成牢固的知识体系，并能在实际问题中熟练运用. 笔者结合教学经验，认为相对于传统数学知识，数学实际运用能力体现在数学应用型问题和数学建模之上. 何为数学建模呢？用数学教育家佛莱登塔尔的话来说，就是把实际问题转换为一种抽象情境下的数学问题，通过解决数学问题进而解决实际问题的一种模式.

另一方面，学案式教学近年来发展很快，很多地区都已经将校本学案式教学进行了有效的开发，新课程最大的特点之一在于放手学校自主开发适合本校特点的校本素材. 在高中数学教学中，某些探索性的知识利用“校本导学案”模式进行教学，以符合本校特点层次的问题作为载体，让学生在符合自身特点的导学中解决问题，这是与时俱进的校本开发和利用. 通过导学案给学生提供高效学习数学的基础，有利于学生创新能力的培养与开发. 我们通过一定时间的尝试，进行了初步的探索，下面笔者结合上教版实际教学案例，浅谈高中生数学建模进行学案式教学的初探与思考.

[?] 学案式建模教学的原则

“学案建模式”教学模式早在十多年前就已经被一些教育的先驱以其他形态提出，并尝试用于教学实际. 以北京四中特级教师谷丹老师为例，其提出“先学后教——注重探究——螺旋上升”是新课程的教育理念，在该模式的定义下，教师按照这样的方式授课：以适合探究的教学内容为背景，提前给学生安排一阶段时间内的教学进度（以学案的形式进行编制操作），对数学建模内容，让学生预习，教师在随后的课堂教学中解决建模问题中有困惑的数学问题，引导学生对学案式数学建模知识进行更深入的学习、建构、变式、演练、运用，让学生成为建模课堂的主导者. 教师的主要作用是课堂的引导者，使得学生在较短的时间内对学案式建模教学方式有所掌握.

考虑到建模教学的实际性，因此在学案的编写过程中，学案式建模教学遵循下列原则：

①探索性原则：编制校本学案的目的在于开拓学生在数学学科上的自主学习能力. 因此，教师必须尊崇学生学习的心理机制，方便学生进行探索性的学习，让学生在数学问题的背后能找到数学思想和方法.

②启发性原则：问题必须富有启发性，这是对教师问题设计能力的考验. 能充分调动学生思维的问题设计是优秀的设计.

③灵活性原则：鉴于学生思维程度的不同，在学案的表现形式上理应丰富，在内容设计上需要花时间、花心思，积极调动学生的思维. 另外，还要考虑到诸如梯度化原则、创新性原则、新颖性原则等等.

[?] 学案式建模教学的案例

通过常年实践，笔者认为，数学应用性问题结合多样的教学形式，认识识别数学模型是解决问题的主要方法. 根据学习模式，构建建模图，数学建模（或应用型问题）求解依旧是模式识别的一种体现. 在数学解题教学中，有意识地渗透认识、识别模型，并亲身参与分析问题、解决问题的整个过程，不断提出新的解决方案，构建新的模型，将有助于提高学生对应用性问题的解决能力.

案例1 （编制：分期付款学案）现在某人向建设银行申请个人住房公积金贷款20万元，期限为20年. 假定在月初借款，从该月末开始每月以按揭形式还款. 若他想节省一些利息支出，请问他应选择等额法还是递减法还款？说明理由. 他每月应归还多少元钱？

笔者把班级分成四组，并派代表深入一线调查，并与银行有关工作人员咨询，对获得的大量第一手资料进行分析、归纳、讨论并深刻思考，精心准备.在课上，他们侃侃而谈：“对以上实际问题而言，我们必须了解银行术语、还法的计算，对问题做相应地数学化处理，通过模式识别，转化成我们较为熟悉的问题——数列知识中等比数列求和与等差数列求和”.

分析数据：如何数学化呢？各小组了解到：

①我国目前公积金贷款6～30年的年利率是4.05%，相应的月利率为3.375%.

②银行个人住房贷款的还款方式主要有两种：一种是等额本息还款法；另一种是等额本金还款法.

全班学生在共同探讨中，明确了等额法还款与递减法还款各量之间的关系，经处理后的实际问题，转化为下列数学问题：

③按等额法还款数学模型

设贷款本金为A，r为月利率，还款总期数为m个月，则到m月末的本利和是A（1+r）m. 再设每月还款数为a，则到m月末的本利合计为a（1+r）m-1+a（1+r）m-2+…+a（1+r）+a. 由a（1+r）m-1+a（1+r）m-2+…+a（1+r）+a=A（1+r）m，得a=.

（1）

④按递减法还款数学模型

设第k个月末的还款数为bk，其中1≤k≤m，则每月平均归还贷款本金为. 由于第k-1个月末已归还的本金累计额为（k-1），故在第k个月末时，应归还每月平均贷款本金以及剩余本金所产生的利息之和，即bk=+Am（k-1）]r. （2）

设按等额法还款和递减法还款的累计总额分别为S1，S2，根据（1），（2）

接下来由研究小组主持研讨，比较大小，学生感到新奇有趣，参与精神强烈，求知欲望高涨，完全体现了学生在学习中应有的积极主动的状态，完全把教师“晒“在一边.

因此，从理论上回答了为什么多数人选择按递减法还款. 通过这节数学应用课，激发学生对数学的浓厚兴趣，使他们感受到数学建模在解决应用题中的作用，懂得数学学习必须理论联系实际，只有做到学习为了用，才能真正感受到数学学习的无穷乐趣. 笔者认为，尽管问题的模型很粗糙，与真正的建模还有一定差距，但对学生来说是自觉的，充满探索性的，因而是充满活力的.

[?] 学案式建模教学的思考

传统的数学课程比较注重理论性的数学知识，并且过于注重知识的连接性和反复性、熟练性，久而久之形成了我国特有的中学数学教学特色：扎实的双基、创新的不足以及动手能力的缺失.近年来，学案式建模教学课程持续的开展正是为了解决上述问题，在教材中较多地出现了以应用型问题为背景的数学试题，这正是数学建模在高中数学中较为合理的表现形式. 新课程下的高中数学不再向传统一样只注重纯粹理论性的数学解题，更注重生活中的数学应用和解决实际问题.由此，笔者产生了一些思考：

（1）数学建模在高中数学中的应用大都还是限于一些函数应用型问题的具体体现，在教学中教师要以这些应用型问题为背景，以学会的数学理论知识来解决实际问题，对学生脑海中产生数学建模的概念是大有帮助的.

（2）现今的数学教育不仅要注重分数，更要为学生的可持续发展奠定基调.随着各大高校自主招生的进一步展开，对学生能力的要求也随之更高. 建模能力的培养易从高中数学应用型问题起步，久而久之学会的转化划归、抽象概况能力将伴随学生进一步的学习、生活，这正是素质教育需要体现的.

（3）适合本校学生的开发才是最好的、最高效的. 鉴于应试实际，在数学教学中以建模问题引领应用型问题的教学，既保障学生应试能力，也提高了学生将实际问题处理、抽象为数学问题的能力，值得我们继续研究.

最后笔者想说，学案式教学最大的优点在于对学生而言，自主进行了基本问题的解决和变式问题的思考，提高了学习的自主性；对教师而言，学案式教学势必在提高教师自身专业化成长的道路上不断开辟新的途径，将改编试题和命题作为教师教学工作的一部分，这对于自身的成长和本校学生的学情都是较为符合的；对学校而言，大量的学案式教学的开发，经过梳理和整合，久而久之，可以整合到新课程改革选修课程的开发工作之中，对本身的教学工作也是一举两得.