四边形内角的余弦性质

曹胜龙

摘 要：类比四边形内角的正弦性质的研究，从n（n≥2）为偶数或奇数进行讨论出发，得出四边形内角的余弦关系的三个定理和两个推论，进而得到四边形内角的余弦性质，进一步完善四边形内角具有的性质.

关键词：四边形；内角；余弦性质

田富德老师在《数学教学通讯》2011年5月下半期中探讨了四边形内角的正弦性质，笔者读后深受启发，进一步联想到四边形内角的余弦是否也具有类似的性质呢？经过探究于是有如下定理：

证明：由α，β，γ，φ为某四边形的四个内角知α+β+γ+φ=2π，从而有+=nπ. 又n为偶数，则cos=cos.

cosnα+cosnβ+cosnγ+cosnφ=0?2coscos+2cos·cos=0?2coscos+2coscos=0?cos=0，或cos=-cos.

（1）若cos=0，则=+kπ（k∈Z），即有α+β=（k∈Z）.又0<α+β<2π，则0<<2π，解之得-

（2）若cos=-cos，则=+π+2kπ或+=π+2kπ（k∈Z）.

由于α+β+γ+φ=2π，则有α+φ=π+或α+γ=π+（k∈Z）.

当α+φ=π+（k∈Z）时，又0<α+φ<2π，则有α+φ=，，…，. 类似可得α+γ=，，…，.

综合（1）（2），α，β，γ，φ至少存在两个角之和在集合

特别地，有如下推论和定理：

推论1 设α，β，γ，φ为某四边形的四个内角，若α，β，γ，φ满足cos2α+cos2β+cos2γ+cos2φ=0，则它们之中必存在两个角之和为.

定理2 设α，β，γ，φ为某四边形的四个内角，设n（n≥1）为奇数，若α，β，γ，φ满足cosnα+cosnβ+cosnγ+cosnφ=0，则它们之中必存在两个角之和在集合

证明：由α，β，γ，φ为某四边形的四个内角知α+β+γ+φ=2π，从而有+=nπ. 又n为奇数，则cos= -cos.

cosnα+cosnβ+cosnγ+cosnφ=0?2coscos+2cos·cos=0?2coscos-2coscos=0?cos=0，或cos=cos.

（1）若cos=0，由定理1中的情形（1）有α+β=，，…，.

（2）若cos=cos，则=+2kπ或= -+2kπ（k∈Z）.

由于α+β+γ+φ=2π，则有α+φ=π+或α+γ=π+（k∈Z）.

当α+φ=π+（k∈Z）时，又0<α+φ<2π，则有α+φ=，，…，.

同理得α+γ=，，…，.

综合（1）（2），α，β，γ，φ至少存在两个角之和在集合

注意到n为奇数，故π在上面的集合中，又因为+=2π，结合四边形的内角之和为2π，因此α，β，γ，φ至少存在两个角之和在集合

推论2 设α，β，γ，φ为某四边形的四个内角，若α，β，γ，φ满足cosα+cosβ+cosγ+cosφ=0，则它们之中必存在两个角之和为π.

结合定理1与定理2，我们可以得到以下定理：

定理3 设α，β，γ，φ为某四边形的四个内角，设n（n≥2），若α，β，γ，φ满足cosnα+cosnβ+cosnγ+cosnφ=0，则它们之中必存在两个角之和在集合

由上述推理过程及四边形的外角和为2π可知，上述性质也可推广到四边形的外角上.