几何直观：不容忽视的解题思维切入点

王邦友

[摘 要] “几何直观”作为《全日制义务教育数学课程标准》的核心概念之一，教师必须充分认识并加以培养，而学生直观思维的养成，更利于有效地解题. 本文结合2013中考题，谈数学直观思维在解题过程中的应用.

[关键词] 数学直观；解题；数学教学

直觉思维，就是人们不经过逐步分析而迅速对问题的答案作出合理的猜测、设想或顿悟的一种跃进性思维. 数学最初的概念都是基于直观，在数学发展史上的一些重大发现，如牛顿发明微积分，笛卡儿创立解析几何，高斯对代数学基本定理的证明等，无一不是直觉思维的杰作. 所以数学问题的解决离不开直觉思维.

《义务教育数学课程标准》（2011版）提出了“几何直观”这一核心概念，认为“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题. 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果. 几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”. 这足以说明直观思维培养的必要性和重要性.

几何直观的培养主要依赖于后天的数学学习活动，如观察、操作（特别是，诸如折纸、展开、折叠、切截、拼摆等）、判断、推理等，诉诸学生的直观感受，借以识别各种不同的几何图形及其关系，这既是经验几何的中心内容，也是推理几何的重要参照和素材.

直观思维的养成，有利于提高学生解答几何试题的效率，本文以2013年中考数学试题为例谈数学直观思维的应用，与大家共勉.？摇

例1 （2013年重庆中考A卷）如图1所示，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，AE=CF，连结EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC.

（1）求证：OE=OF.

（2）若BC=2■，求AB的长.

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分析 （1）要说明OE=OF，根据图形，由OE，OF所处的位置，学生很容易直观地提取出证明三角形全等的基本图形“■”，通过标图（如图2），很快就能找到解决问题的切入点：证明△FCO≌△EAO. 此问的解答对于学生来说应该是简单的.

（2）因为BC，AB同处于Rt△ABC中，在只知道线段BC的长的前提下求解线段AB，根据解直角三角形的知识，学生自然会想到用三角函数的知识来解决，由此学生很快找到了解决问题的切入点：求∠BAC或∠BCA的度数，而且一定是特殊角（学生不难猜出∠BAC是30°）. 如何求呢？由图3的标图，学生应该不难直观发现点O既是Rt△ABC斜边的中点，又是等腰三角形BEF底边EF的中点，由基本图形图4、图5所体现出的性质内容，自然想到要添加OB这条辅助线.

连结BO（图略），可知BO既是边EF上的高，更是Rt△ABC斜边的中线，易证∠OBA=∠CAB，∠OBA+∠OEB=90°，再根据已知条件∠OEB=2∠OAB，可求得∠OAB=30°，利用三角函数得AB=6. 命题人的标准答案是通过证△EBO≌△FBO≌△FBC，求得∠OBA=∠OAB=30°，而证三个三角形全等是一个很烦琐的过程，没有笔者的这个想法来得简便.

例2 （2013年连云港中考）如图6所示，已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=■的图象的一个交点为A（1，m），过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y=■（x>0）的图象交于点D（n，-2）.

（1）求k■和k■的值.

（2）若直线AB，BD分别交x轴于点C和点E，试问：在y轴上是否存在一点F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

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分析？摇 （1）直观发现——求k■的关键是求点D的横坐标n，这时，我们不妨依图7作y轴的垂线DN（如图7），则可知DN=n，ON=2. 这时，我们不难从图中提取出两个关于相似的常见图形（图8和图9），作为教师和学生，对于这两个图形及其所蕴涵的知识量应该是很熟悉的.

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条件转化——由一次函数y=2x+2，我们可以求出其与x轴、y轴的交点C，B的坐标（这是解一次函数题的直觉），从而得到OC=1，OB=2. 再利用三角形相似，可标出如图7所示的图注. 当然这里需要学生有很好的知识储备和娴熟的知识迁移，因为这里用到了“射影定理”和三角形中位线的知识，而射影定理在苏教版中虽然已经不能直接用了，但是对图8所蕴藏的知识，在苏教版八下数学教材第100页中的例4还是专门对它进行了教学安排（只是不说是射影定理了）. 有了这样的直觉思维后，求解n自然不成问题，这样，k■得解.

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上述思路，主要基于以下两点直观思维：（1）一次函数找其与坐标轴的交点. 对于老教材在学习一次函数性质时都归纳这样一句话：“一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是经过点（0，b）和点-■，0的一条直线. ”新教材虽然不再这么说了，但这句话的重要性，作为教师在教学解一次函数题时是不能不强调的. 其实做过许多中考题的老师应该都有这样的感觉：类似例2的题，求一次函数与坐标轴的交点往往是最省时省力的思维切入点. 在这里，学生对于求y=2x+2与x轴、y 轴的交点C，B的坐标是最容易想到的. （2）常见图形的知识储备. 图9、图10所蕴涵的知识量，教师在相似的教学中可以说是一而再再而三地让学生理解并有所储备，学生能及时提取出来.

当然，从直观思维的角度来看，我们还有另一种解法：由于AB与DB垂直，如果学生有这方面的知识储备，不难由y=2x+2直接得到直线BD的解析式为y=-■x+2，这对于求点E的坐标来得就更快了. 从中考阅卷考试反馈的信息来看，有学生是这样做的.

从以上的分析来看，学生只要从直观入手，还是能够很快找到解决问题的切入点的. 这个求k■的过程，和标准答案比有些复杂，但因为这些是学生能直接找到的思维点，所以并不难，不会在解题中消耗过多的时间，另外，在求k■的同时为第2问的求解先期解决了很多计算问题，从整个题目的解决来看还是节省了思考的时间的.

（2）对于此问的表述方面，命题人给出了“试问是否在y轴上存在一点F使得△BDF∽△ACE”而非学生常见的“试问是否存在一点F使得△BDF与△ACE相似？” 这样的描述语言. 看起来似乎不用分类讨论了，难度降低了，但从我们提取出的图9中，我们知道，∠OBE=∠ACE，理论上，点B和点C应该是对应顶点，但由题目中△BDF∽△ACE，可知点B与点A对应，直观告诉我们：是不是题目错了呢？是不是只要给个“不存在”的结论就能得分呢？从阅卷情况看，还真有学生是这样写的. 然而，经验丰富的学生也由这个“直观”发现了解决问题的关键——是否存在点F，要先证明∠OBD是否等于∠CAE. 如果等了，自然就存在，再去求点F；如果不等，则自然不存在. 有了上述思维的学生当然得到了理想的满分，不过从参加阅卷的教师反馈的信息来看，仍有许多学生忽视了证明“∠OBD=∠CAE”这一点，而直接用对应边成比例求解了. 虽然结果也对了，但还是不能得到满分.

由上面的分析我们知道，在看到直观思维在解题方面的重要性的同时，我们还必须认识到直观思维的两面性，即直观思维的结论不一定都是正确的，还需要我们进行论证.

数学来源于直观，直观能指导我们解决问题. 通过以上分析，我们知道：当通过对所要解决的数学问题的结构特征、数据特征、图形特征等方面的观察和分析，启动直观思维，进行合情的推理，可以快速而有效地解决问题. 作为数学教师的我们，应该在教学中多关注学生的直觉思维培养. 当然，我们同时也要认识到，直观思维是以已有的知识和经验为基础的，只有具备了坚实的知识基础，积累了丰富的数学经验，加以迅速的判断力和敏锐的想象才有可能产生直观思维.