构造三角形解圆锥曲线问题

夏伯旗

高考对圆锥曲线知识的考查主要有以下两种形式：第一种是以填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.第二种是以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现。有时以证明题的形式出现，该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，现用构造三角形来讨论圆锥曲线相关问题。

一、构造三角形解离心率问题

例1.（2013·辽宁改编）已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.若AB=10，BF=8，cos∠ABF=■，则C的离心率为________。

解析：在△ABF中，由余弦定理得

AF2=AB2+BF2-2AB·BFcos∠ABF，

∴AF2=100+64-128=36，∴AF=6，

从而AB2=AF2+BF2，则AF⊥BF。

∴c=OF=■AB=5，

利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，

则BF′=AF=6，

∴2a=BF+BF′=14，a=7

因此椭圆的离心率e=■=■。

二、构造三角形求解角的问题

例2.已知点F1、F2分别为椭圆■+■=1的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A、B两点（点A在x轴上方），且AF1-BF1=■，则直线l的倾斜角为 。

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解析：如图，直线为椭圆左准线，作AD⊥m于D，BC⊥m于C，BG⊥AD于G，F1E⊥AD于E，设BF1=m，BC=d1，AD=d2，∵AF1-BF1=■，∴AF1=■+m，HF1=3，由橢圆第二定义知，■=e=■∴d1=2BF1=2m，■=e=■，∴d2=2AF1=■+2m，又EF1|GB，∴■=■，解得m=■或-■（负值舍去）。

Rt△AEF1中，cos∠EAF1=■，∴∠EAF1=60°，∴直线l倾斜角为60°。

三、构造三角形解面积问题

例3.已知F1、F2是椭圆■+■=1的两个焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为 。

解析：由题意：a=5，b=4，c=3，据余弦定理得：

F1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2cos60°，

∴F1F22=（PF1+PF2）2-3PF1·PF2，化简得PF1·PF2=■。

四、构造三角形解综合性问题

■

例4.（2012·江苏改编）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0）.已知点（1，e）和（e，■）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率。

①求椭圆的方程；

②设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.若|AF1|-|BF2|=■，求直线AF1的斜率；

解释：①由题设知，a2=b2+c2，e=■。

由点（1，e）在椭圆上，得■+■=1，

解得b2=1，于是c2=a2-1。

又点（e，■）在椭圆上，所以■+■=1，

即■+■=1，解得a2=2。

因此，所求椭圆的方程是■+y2=1。

②令BF2=m，则AF1=■+m ∴BF1=2■-m，AF2=2■-m-■（1）

△AF1F2中，cos∠AF1F2=■（2）

△BF1F2中，cos∠BF2F1=■（3）

∵AF1|BF2 ∴∠AF1F2+∠BF2F1=π ∴cos∠AF1F2+cos∠BF2F1=0（4）

由（1）（2）（3）（4）解得m=■或■（负值舍去）代入（2）得cos∠AF1F2=■。

综上分析可知，解圆锥曲线相关问题时灵活运用三角形相关知识解题，往往能达化繁为简，事半功倍的效果。

（作者单位 江苏省泰州市第二中学）

？誗编辑 李燕燕