幻方漫谈

王家琰

摘 要：一些小朋友们做类似方阵图的填空题，使得每行每列，各对角线上的三个数之和相等。这就属于填幻方问题。

关键词：数学；幻方；排列

所谓的幻方，它是由1-n2这n2个数按一定规律排列成n行n列的具有一些特殊性质的方阵。最基本的性质有：每行数之和=每列数之和=对角线之和。设幻方的阶数的阶数为n，则1-n2各自然数之和为s=1+2+3+……+n2=n2（n2+1）/2。将它排列成n排n列，实际上每个数算了两次。所以幻方各行各列各对角线上的数之和为N=s/n=n（n2+1）。当n=3时，N=15。那么，如何填幻方，这就看该幻方是奇阶的还是偶阶的。

一、齐阶幻方

以三阶幻方为例，1～9分别填入3×3的方阵中，使得每行每列每条对角线上的数之和相等。

1.填法

方法一：从1～9各自然数中取三个数使其和等于15，只有以下8种填法：

1+5+9=15 1+6+8=15

2+4+9=15 2+5+8=15

2+6+7=15 3+4+8=15

3+5+7=15 4+5+6=15

其中1、3、7、9各出现两次，2、4、6、8各出现三次，5出现四次。所以5必须放在中间，2、4、6、8放在四角。如图2a和2b，然后将这两种幻方各旋转90°、180°、270°，又可以得6种，共计8种排列方法。

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方法二：将1～9个数按图3斜写，然后把正方形外的数通过“上下对易，左右相更”的原则移到正方形内相应的位置。即把1下移三格到6和8之间，9上移到2和4之间，7右移到2和6之间，就可填成如图2b。

2.撷趣

将1～9各自然数按次序排列成三行三列。任圈一数，比如9，然后去掉9所在行列的其他数，再在剩下的四个数中任圈一数，比如1，再去掉1所在行列的两个数2和4。最后剩三个数1、5、9。这三个数之和也必然是15。喜欢幻方的不妨多试几次，看看是不是。（见图4a、图4b、图4c）

3.史鉴

世界上最早的幻方是中国古代的“洛书”，距今四千多年，相传为夏禹时代洛河里的大龟献给大禹的贡品。在龟背上有九组“小花”的花纹组成的三阶幻方，简化如图5，图中黑白圆圈一共45个，黑的表示偶数，白的表示奇数。“神龟载洛书”是我国古代人民智慧的结晶。在南宋时我国数学家杨辉将幻方称为纵横图，在所著《续古摘奇算法》中对九宫图作了科学的说明：九子斜排，左右相更，上下對易，四维挺出。

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4.推广

填五阶幻方：将1～25分别填入5×5的方阵使得每行每列每条对角线上的数之和相等。根据N=n（n2+1）/2知n=5时，N=65。

方法一：将1～25按图6a斜写，再把正方形外的数按“上下对易，左右相更”的原则移到其内相应的外置上，即把上面的1、6、2下移五格到19周围，下面的24、20、25上移到7的周围，左右同之，就得到图6b。

方法二：如图7a，在斜正方形的各格中依次填入从1开始的奇数，在延长的斜正方形中依次填入以2开始的偶数，然后把原正方形外的三个直角三角形移到正方形内的相应位置，得到图7b。

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图7a 图7b

二、偶阶幻方

以四阶幻方为例，即将1～16填入4×4的方阵中，使得每行每列每条对角线上的数之和相等。根据N=n（n2+1）/2知，当n=4时，N=34，所以每行每列每条对角线上的数之和都为34。

1.填法

先从方阵左上角由1开始在对角线方向上填入四个数，后一个比前一个大5（4+1=5），依次是1、6、11、16；然后从右上角开始填4，沿对角线方向填入四个数，后一个比前一个大3（4-1=3），依次是4、7、10、13（图8a），再从最下面一行开始，在空格中自右向左依次填入余下的8个数：2、3、5、8、9、12、14、15。就可以填成图8b了，计算知此幻方各行各列各对角线上的数之和都是34。

2.撷趣

（1）将1～16按次序填入4×4方阵中，任圈去一个数，比如7，接着划去7所在行列的其他数（图9），在任圈一个数，比如14，接着划去14所在行列的其他数，同样再圈一个数，比如1，也划去1所在行列的其他数，最后剩下1、7、12、14，它们之和为34。

（2）关于六阶幻方，其每行每列每条对角线6个数之和都相等，都是111。该幻方有两个独特性。

其一，该幻方是一个二次幻方，幻方中第一行和第六行中六个数的平方和也相等。即：

282+42+32+312+352+102=3095

272+332+342+62+22+92=3095

第一列和第六列中六个数的平方和也相等。即：

282+362+72+82+52+272=2947

102+12+302+292+322+92=2947

其二，这个幻方是回整幻方。即去掉最外面一层，中间剩下的部分仍然是一个四阶幻方。这个四阶幻方由11～26这16个数组成，其每行每列每条对角线的4个数之和都是74。

18+21+24+11=74 20+15+14+25=74

21+12+26+15=74 24+17+19+14=74

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3.推广

（1）六阶幻方的填法：从左上角填1开始，沿对角线后一个数比前一个数大7（6+1=7）依次为1、8、15、22、29、36，然后在右上角填6，沿对角线后一个比前一个大5（6-1=5）依次为6、11、16、21、26、31，其他的自己依次填入。

（2）将2-17填入4×4的方阵中，其中N=38，也可按照填1-16的方法填入（图11）。

参考文献：

[1]苏茂挺，戴宏图.巧妙的3232阶3次幻方[J].科学画报，1983.

[2]高治源.中国幻方研究动态[J].延安职业技术学院学报，1998.

（作者单位 山西省应县第六中学校）

？誗编辑 李燕燕