数学研究性学习问题的范例性要素分析、选择及设计

尹建勇

问题是数学研究性学习的核心，问题探究是数学研究性学习内容的主要呈现方式，数学知识应以各种有待探索研究的形式与学生头脑中已有的经验发生联系和作用.创设好的问题情境，充分体现研究性学习的功能和价值，既是研究性学习有效进行的关键，也是研究性学习中教师主导作用发挥的本质要求.好问题就是研究性学习中的“范例”，它应当体现“范例教学”的主要原则，即：“三个性”——基本性、基础性和范例性；“三个统一”——问题解决与系统性学习相统一、掌握知识与培养能力相统一、主体与客体相统一”；“四个阶段”——“个”的阶段、“类”的阶段、规律和范畴阶段、世界经验和生活经验阶段.作为研究性学习中“范例”的问题可以从五个方面加以分析和选择.

1.分析该问题的解决可使学生掌握、巩固和应用哪些基本概念、基本原理和基本方法，形成什么样的态度和技能.数学知识的基本性主要指探究对象结构的对称性和规则性.这里特别把自主探究意识、人和人之间的合作和交流技能以及搜集、筛选和整合信息的能力放到比知识更优先的位置上予以关注，以数学问题为载体，追求培养“完整”的人的教育目标.

2.分析该问题对学生智力发展、科学方法论的掌握、态度价值观形成的现实意义.问题情境应是学生熟悉的，或能够清晰的理解的，学生应具有解决类似问题或相关问题的经验，对问题涉及的思想方法有一定的了解，也就是说问题应置于学生“最近发展区”之中.以“低起点”保证不同层次的学生包括差生都能介入，以“宽入口”保证满足认识风格各异的学生的探究期待.

3.分析该问题对学生未来生活的意义.一方面，选择的问题在学生未来的学习和生活中必然会出现，是学生长大成人后必然要面对的，这样的问题对学生是重要的，同时也是能引起学生兴趣的.另一方面，探究性问题本身应具有可“拓展性”以适应学生的“发展性”

4.分析问题空间的结构，提供更多有针对性的指导.在解决问题时，学生必须把问题的构成成分（条件、目标、规则等其他有关情境）编码成某种内部的心理表征，这种内部的表征就是其问题空间，它包括呈现给他的问题的起始状态、要求达到的目标状态、在解决过程中各种可能的中间状态（想象的或经验的）、可以使用的 算 子（操作），也包括与问题情境有关的“约束”，因此，问题空间是由学生对所要解决的有关问题的一切可能的认识状态构成的.对问题空间的预设能使教师掌握解题要点、难点、层次、相互关系和教学的前提，弄清什么是组成整个问题空间的个别要素及这些个别要素之间的关系.

5.分析该问题有哪些特点、现象、状况、尝试、人物、事件和形式可以使处在该发展阶段的学生发生兴趣、接受问题以及了解和掌握它们.

二、数学研究性学习问题的设计

1.关口前移，上升一级.对于探究而言，初等数学与高等数学之间不存在明显的界限，真正的数学研究与作为数学活动的问题探究之间也不存在明显的区别.研究表明，人们并不是完全具备解决问题的必备知识才去尝试解决问题的，而更喜欢直接投入到问题情境中，因此可从与当前知识联系紧密，过渡自然的高一级教材中寻找“课题”.更现实的做法是在上新课之前，把本节课后符合条件的“习题”稍加改造作为研究性问题让学生去探究，这样学生在拓宽数学知识面的同时掌握了新知识，提高了探究能力.

2.恰当处理教科书中现有的问题.有以下两种情况：①充分利用教科书中的问题教学内容.教科书中有许多习题和其他材料符合研究性问题的范例性要求，应深入挖掘、充分利用.②改编教科书中的习题.教科书中一些习题问题性不强，可以根据范例性要求进行改编：一是将封闭型的问题改为探究性的问题.可以改变设问方式、更换题设条件、互换条件结论、综合类比拓展等；二是将教科书中已有的一些纯理论性的习题改为富有时代气息的实际应用题.简单的办法是：减少封闭性习题的限制条件，使其成为开放性问题，从而增强可探究性，限制少的问题让人更可能用自己的方式来思考，而这方式决定于其兴趣和发现.

3.生活是探究性问题永不枯竭的源泉.由于现实生活中一些问题信息的不完整性和正确答案个案的不确定性，才导致了数学研究性问题有它现实的教育教学价值.因此，关注现实世界中的问题，特别是学生身边的可理解的实际问题，可使学生有一种亲近感和探究的欲望.

4.激励学生质疑提问.采用“大脑风暴”形式，让学生向课本提问，改变概念和原理的假设和前提，大胆想象、合理拓展；向习题提问，改变前提和结论，转换问题情境，使问题实际情境化.

5.从数学史和当代数学新成果中提出问题.数学史较真实的反映了人类数学知识的发生和发展过程，其间充满着思考、探索、反驳、证实的建构过程.从数学发展的历史长河中撷取的问题“浪花”，能真正体现数学探究真实而全面的价值诉求.当代数学新成果是在对传统数学问题的反思、突破和重新探究的基础上发展起来的，它的创新性思考为探究性问题的设计提供了十分有益的启示.

研究性问题的评价与其他题型的评价结果有一定的相关性，研究性问题的大部分解题过程是一个个封闭性问题解题的“组块”构成的，如果没有这样一个个“构件”很难建造成研究性问题的解题“大厦”，但同时也应认识到即便有了这样一个个“构件”也不能保证一定能建成“大厦”.

研究性问题并不是教育教学的任一过程中都可以粘上去的万能胶.对待具体的研究性问题，教者要从“范例性”角度加以筛选、分析.看一看是否与当前的数学教学密切相关；学生是否有能力对问题进行实效性的研究；课题是否能够确实提高学生的能力，以及提高哪一方面的能力；问题在数学中的地位；数学之外这问题的作用，问题和教学者的关联；哪些问题、什么时候引进更适宜.从“范例性”角度选择适宜的研究性问题让学生去研究无疑是十分重要的.