浅析数形结合在高考中的应用

王博

【摘要】数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的知识，解决几何的问题.实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.

【关键词】数形结合；数学；函数；简化；线性规划

通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数辅形两个方面，利用它可以把复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法.

在高中数学中数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中.运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越.要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.

1.解决集合问题

在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了.

2.解决函数问题

借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法.函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.

3.解决方程与不等式的问题

处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路.

例1 已知函数f（x）=x2+bx+c（x<0）

2（x≥0），且f（-4）=f（0），f（-2）=-2，则方程f（x）=x解的个数为 .

解 利用几何图形来解题.

-b2×1=-2，则b=4，4×1×c-424×1=-2，则c=2.

因此f（x）=x2+4x+2.

注意：这里y1=f（x），y2=x.因此，解的个数是3个.

4.解决三角函数问题

有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.

例2 函数y=sin2x+5π6的图像的一条对称轴方程是（ ）.

A.x=-π2 B.x=-π4 C.x=π3 D.x=5π4

解析 对函数y=Asin（ωx+φ）的图像作深入的观察，可知，若直线x=a通过这一曲线的一个最高点或最低点，则它必为曲线的一条对称轴.因此，解这个问题可以分别将x=-π2，-π4，π3，5π4代入函数的解析式，易得x=π3时，y=-1.故选C.

注意 要善于观察图形，发现基本性质.如本题若不能很好地掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图像性质，而机械地画出函数y=sin2x+5π6的图像及其对称轴，虽然也可以做对，却浪费了宝贵的时间.

5.解决线性规划问题

线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.

例3 （ 2006年湖南）已知x≥1，

x-y+1≤0，

2x-y-2≤0，则x2+y2的最小值是.

解 在坐标系中画出可行域，如图所示，其中A（1，2），B（3，4）.将目标函数x2+y2看成可行域中的点P（x，y）到原点O的距离x2+y2的平方.则当点P与A重合时，x2+y2的最小值是5.

6.解决数列问题

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决.

7.解决解析几何问题

解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中.

例4 已知直线y=k（x+2）和双曲线x2-4y2=4只有一个公共点，则k的不同取值有（ ）.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析 如图，y=k（x+2）的图像是过定点（-2，0）的直线系，双曲线的渐近线方程为y=±12x.故过点（-2，0）且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值.此外，过点（-2，0）且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值.故正确答案为D.

8.解决立体几何问题

立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算.

数形结合是培养和发展学生的空间观念和数感，进行形象思维与抽象思维的交叉运用，使多种思维互相促进、和谐发展的主要形式；数形结合教学又有助于培养学生灵活运用知识的能力.