递推数列通项公式的解题技巧与方法

梁桂友

从近年高考来看，可以知道数列的考查占高中数学的分量比较大，也是区别尖子生的重要分界线.非常规数列，也就是指非等比、等差数列，在求通项公式方面，题型比较多，方法与技巧也比较多，很多考生往往因为这一点，而产生畏惧和退缩的心理.可是，只要我们仔细分析，即使它的题型变化大，解题方法思路也多元化，但都有章可循.在此，就以求递推数列通项公式作为例子，对一些方法与技巧进行剖析.只想能通过这些解题的方法与技巧的分析，达到触类旁通的作用，让学生从中学会分析题型，把握题型的解题思路和技巧，寻求最佳的解答思路，形成较强的解题能力、独特的解题思路，提高高考总复习的效率.

一、累加法求通项公式

固定模式： an+1-an=f（n）（n=2，3，4，…），并且f（1）+ f（2）+…+f（n-1）可以求出，那么就可以用累加法求an，假如不能直接使用该方法，那么就通过变形，转化成这种形式，再用这种方法进一步求解.

例1 已知数列{an}满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列{an}的通项公式.

解题技巧与方法 由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1，于是：

a1=1

a2-a1=3

a3-a2=5

……

an-1-an-2=2n-3

an-an-1=2n-1

以上n个式子相加即得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1，即可得到通项公式.

最关键技巧 把递推关系式an+1=an+2n+1转化为an+1-an=2n+1，进而求出（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1，即得数列的通项公式.

二、累乘法求通项公式

固定模式： anan-1=f（n）（n=2，3，4，…），并且f（1）+ f（2）+…+f（n-1）可以求出，则用累乘法求an，假如不能直接使用该方法，那么就通过变形，转化成这种形式，再用这种方法进一步求解.

例2 （2012全国卷文数18题）已知数列{an}中，a1=3，前n项和Sn=n+23an.（1）求a2，a3；（2）求{an}的通项公式.

解题思路 （1）比较容易.（2）关键由an=Sn-Sn-1整理出an=n+1n-1an-1，于是a1=3，a2=31a1，a3=42a2，…，an-1=nn-2an-2，an=n+1n-1an-1.将以上n个等式两端分别相乘，整理就可得an=n（n+1）2.

三、待定系数法求通项公式

例3 已知数列{an}满足an+1=2an+3·5n，a1=6，求数列{an}的通项公式.

最关键技巧 本题目的关键技巧是把递推关系式an+1=2an+3·5n化为an+1-5n+1=2（an-5n）形式，因此，容易得知新数列{an-5n}是等比数列！剩下的只要求出数列{an-5n}的通项公式，就可以解出数列{an}的通项公式an=2n-1+5n.

四、用迭代法求通项公式

例4 已知数列{an}满足an+1=a3（n+1）2nn，a1=5，求数列{an}的通项公式.

最关键技巧 由an+1=a3（n+1）2nn，由迭代法，可以得到

an=a3n·2n-1n-1=[a3（n-1）·2n-2n-2]3n·2n-1=…=a3n-1·2·3·…·（n-2）·（n-1）·n·21+2+…+（n-3）+（n-2）+（n-1）1=a3n-1·n！·2n（n-1）21.

又根据已知a1=5即可以求出数列{an}的通项公式为an=53n-1·n！·2n（n-1）2.

五、构造等比数列法求通项公式

例5 已知数列{an}满足an+1=2an+3·2n，a1=2，求数列{an}的通项公式.

最关键技巧 an+1=2an+3·2n两边除以2n+1，得an+12n+1=an2n+32，则an+12n+1-an2n=32，因此数列an2n是以a121=22=1为首项，以32为公差的等差数列.

最关键策略 由递推关系式an+1=2an+3·2n转化为an+12n+1-an2n=32，可推出数列an2n是等差数列，能否把握这个转化过程，是解决这类题目的关键所在！最后，再利用等差数列的通项公式求出an2n=1+（n-1）32，求出数列{an}的通项公式an=32n-122n即可.

诚然，在高中数学求解数列的通项公式题型是比较多样化的，因此，求解递推数列的通项公式的方法也很变幻莫测，正因如此，求递推数列的通项公式这类题型成为了历年高考命题中热点考查对象.但是，只要我们善于发现问题，仔细分析，都可以通过具体的解题技巧将问题转化为较为固定的解题模式，逐步形成一种独特的解题技能，转化为等差数列或等比数列问题加以解决.