高考数列通项的解题思想

安艳伟

【摘要】数列是高中数学核心课程，高考热点问题之一，本文从数学思想的角度来阐述高考数列通项公式的常用方法和策略.

【关键词】数列；高考；数学思想

数列是高中数学核心课程，是特殊的函数，在理论上和实践中均有较高的价值，是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的绝好载体，是高考热点问题之一，本文从数学思想的角度来阐述高考数列通项公式的常用方法和策略.

1.数学猜想

例1 已知数列{an}满足an+1=an+8（n+1）（2n+1）2（2n+3）2，a1=89，求数列{an}的通项公式.

点评 不完全归纳是数学的主要猜想方法，根据递推关系和a1=89，得a2=2425，a3=4849，……所以猜测an=（2n+1）2-1（2n+1）2.

例2 在数列{an}中，已知a1=1，当n≥2时，有an=an-1+2n-1（n≥2），求数列的通项公式.

解析 ∵an-an-1=2n-1（n≥2），

∴a2-a1=1，

a3-a2=3，

a4-a3=5，

an-an-1=2n-1.

上述n-1个等式相加可得：an-a1=n2-1，

∴an=n2.

例3 在数列{an}中，已知a1=1，有nan-1=n+1an，（n≥2），求数列{an}的通项公式.

解析 an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a3a2·a2a1·a1=nn+1·n-1n·n-2n-1·…·34·23·1=2n+1.

又∵a1也满足上式，∴an=2n+1，（n∈N*）.

例4 若数列{an}满足an+1=2an，（0≤an≤12）

2an-1，（12≤an<1），若a1=67，则a20的值为.

解 根据数列{an}的递推关系得它的前几项依次为：67，57，37，67，57，37，67，…，我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期，∴a20=a2=57.

点评 三个试题都以归纳为方法，通过累加、累乘等方法探寻规律性问题.

2.方程思想

例5 （2013年新课标Ⅱ卷）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ）.

例6 （2013年高考辽宁卷）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2-5x+4=0的两个根，则S6=.

点评 两个试题都以方程思想构题，侧重双基的培养.

3.函数思想

例7 （2010年江西高考）等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）·…·（x-a8），则f′0=（ ）.

例8 （2011年江苏高考）设1≤a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是.

点评 数列是特殊的函数，因此数列的单调性、周期性、最值性成为高考的热点命题之一.

4.整体与局部

例9 （2010年浙江理数）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则S5S2=.

例10 （2013年湖南高考）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（-1）nan-12n，n∈N，则：（1）a3=；（2）S1+S2+…+S100=.

点评 局部化思想考查学生分析问题的能力，整体与局部转化是重要的解决问题的手段.

【参考文献】

[1]秦德生，郭民，等.高考与大学自主招生考试数学考点大全与真题解析[M].东北师范大学出版社，2013.

[2]高慧明.数列通项的求法在2008年高考中的展示[J].试题与研究，2008：20.