幂级数中阿贝尔定理的另一证法

孔朝莉

【摘要】从根式判别法出发，给出了判断幂级数敛散性的阿贝尔定理的另一个证明方法.

【关键词】幂级数；阿贝尔定理；敛散性；根式判别法

【中图分类号】O213

【文献标志码】A

【基金项目】三亚学院教学改革立项课题 课题编号：Syxyjy120201

关于幂级数敛散性，阿贝尔定理给出了判别方法.一般的数学教材中，阿贝尔定理的证明采用的是比较判别法.本文从根式判别法出发，给出了阿贝尔定理的另一种证明方法，并由此更加自然地给出幂级数收敛半径的定义和求法.

一、阿贝尔（Abel）定理

定理（阿贝尔（Abel）定理） 如果幂级数∑∞n=0anxn当x=x0x0≠0时收敛，则适合不等式xx0的一切x，此幂级数均发散.

该定理第一部分需要证明∑∞n=0anxn绝对收敛性，这涉及正项级数的敛散性的判别，下面给出相关的正项级数审敛法.

二、正项级数审敛法

（一）比较判别法

第一比较准则 设∑∞n=1un和∑∞n=1vn均为正项级数，且un≤vn（n=1，2，…），

若∑∞n=1vn收敛，则∑∞n=1un收敛；反之，若∑∞n=1un发散，则∑∞n=1vn发散.

第二比较准则 设∑∞n=1un和∑∞n=1vn均为正项级数，如果limn→∞unvn=l，则

（1）当0

（2）当l=0时，若∑∞n=1vn收敛，则∑∞n=1un收敛；

（3）l=+∞，若∑∞n=1vn发散，则∑∞n=1un发散.

（二）比值判别法（达朗贝尔判别法）

设∑∞n=1un是正项级数，如果limn→∞un+1un=ρ（ρ为有限数或+∞），则ρ<1时级数收敛；

ρ>1或limn→∞un+1un=+∞时级数发散.

（三）根式判别法（极限形式）

设∑∞n=1un是正项级数，如果limn→∞nun=ρ，则

三、阿贝尔（Abel）定理的证明

这里给出如下相关两个引理.引理1的证明一般高等数学教材都有，引理2的结论显然成立.

引理1 若数项级数∑∞n=1un收敛，则limn→∞un=0.

引理2对于数列xn，如果N>0，当n>N时，0≤xn<1，则limn→∞nxn≤1.

Abel定理证明1（比较判别法） 设x0是幂级数的收敛点，即级数∑∞n=0anxn0收敛，由引理1，有limn→∞anxn0=0，则存在正数M，使anxn0

anxn=anxn0·xnxn0=anxn0·xx0n≤Mxx0n，因为当x

定理的第二部分用反证法来证明.设幂级数∑∞n=0anxn在点x0发散，且有一点x1，适合x1>x0，使幂级数收敛，则根据本定理的第一部分，幂级数在点x0应收敛，这与所设矛盾，定理得证.

由于级数∑∞n=0anxn中含xn项，因此本文考虑尝试用根式判别法来证明阿贝尔定理.由于limn→∞nanxn0不一定存在，下面采用根式判别法（3′）来证明阿贝尔定理.

Abel定理证明2（根式判别法）设x0是幂级数的收敛点，即级数∑∞n=0anxn0收敛，由引理1，有limn→∞anxn0=0，因此对ε≤1，N0>0，当n>N0时，anxn0<ε<1，由引理3，limn→∞nanxn0≤1，又因为当x

由根式判别法（3′），级数∑∞n=0anxn收敛，也就是幂级数∑∞n=0anxn绝对收敛.

定理的第二部分同样可用反证法来证明.

通过本定理的证明，可以自然地给出幂级数收敛半径的定义和求法.

若记ρ=limn→∞nan（ρ≥0），则由根式判别法（3），limn→∞nanxn=ρx，当ρx<1时，级数∑∞n=0anxn收敛.当ρ=0，所有的x都是收敛点，0<ρ<+∞，只要x<1ρ，级数∑∞n=0anxn均收敛，因此收敛半径为R=1ρ或R=+∞；当ρx>1时，级数∑∞n=0anxn在除了x=0以外的点外都发散，收敛半径为R=0.