幂级数π-Armendariz环

王 尧，李 敏，任艳丽

(1.南京信息工程大学数学与统计学院，江苏 南京 210044；2.南京晓庄学院信息工程学院，江苏 南京 211171)

幂级数π-Armendariz环

王 尧1，李 敏1，任艳丽2

(1.南京信息工程大学数学与统计学院，江苏 南京 210044；2.南京晓庄学院信息工程学院，江苏 南京 211171)

引入幂级数π-Armendariz环的概念，研究了幂级数π-Armendariz环的扩张，证明了如果环R是具有幂零有界指数的NI环，且为α-容许环，则R[x；α]是幂级数π-Armendariz环.同时讨论了幂级数环的幂零p.p.性和弱zip性.

幂级数环；幂级数π-Armendariz环；NI环；弱zip环

1 预备知识

本文假定所研究的环R都是有单位元1的结合环.以R[x]，R[[x]]分别表示R上的多项式环和R上的幂级数环；以nil(R)，P(R)，Nil*(R)，L(R)分别表示环R中所有幂零元的集合、素根、上诣零根和Levitzki根；以Vn(R)表示Dn(R)中矩阵满足ast=a(s+1)a(t+1)(s=1，…，n-2，t=2，…，n-1)的矩阵子环.一个环R称为2-素环，如果P(R)=nil(R).环R是2-素环，当且仅当R/P(R)是约化环.

一个环R称为弱2-素环，如果L(R)=nil(R).一个环R称为NI环，如果Nil*(R)=nil(R).这几个环之间的关系是：2-素环⟹弱2-素环⟹NI环⟺诣零幂级数Armendariz.

2 幂级数π-Armendariz环

显然幂级数π-Armendariz环是幂级数弱Armendariz环.

引理2.1[2]如果R是一个诣零幂级数Armendariz环，则nil(R[[x]])⊆nil(R)[[x]].

命题2.1 (1) 诣零幂级数Armendariz环是幂级数π-Armendariz环；(2) 幂级数π-Armendariz环的子环是幂级数π-Armendariz环.

(2) 由幂级数π-Armendariz环定义知结论成立.

命题2.2 如果R是一个具有幂零有界指数的环，那么对任意的n≥2，Tn(R)是幂级数π-Armendariz环，当且仅当环R是幂级数π-Armendariz环.

证明 因为R是Tn(R)的子环，所以根据命题2.1(2)知必要性成立.下证充分性.容易验证Φ：Tn(R)[[x]]→Tn(R[[x]])是典范环同构.

由F(x)G(x)∈nil(Tn(R)[[x]])可得Φ(F(x))Φ(G(x))∈nil(Tn(R)[[x]]).注意到

推论2.1 设R是一个具有幂零有界指数的幂级数π-Armendariz环，则对n≥2，下列结论成立：

(1)Dn(R)是幂级数π-Armendariz环；

(2)Vn(R)是幂级数π-Armendariz环；

(3)R(x)/(xn)是幂级数π-Armendariz环.

证明Dn(R)是Tn(R)的子环，Vn(R)是Dn(R)的子环，且R(x)/(xn)≅Vn(R)环，由命题2.1(2)知结论成立.

根据命题2.2不禁猜测：环R上的n阶全矩阵环Mn(R)是幂级数π-Armendariz环(n≥2).但是下面的例子给出了否定回答.

命题2.3 如果R是一个具有幂零有界指数的幂级数π-Armendariz环，则T(R，R)是幂级数π-Armendariz环.

一个环称为诣零半交换环[7]，如果对a，b∈R，由ab∈nil(R)可以推出aRb∈nil(R).

命题2.4 幂级数π-Armendariz环是诣零半交换环.

3 幂级数π-Armendariz环更多的例子

命题3.1 设R是一个环，I是R的一个诣零理想.如果R/I是幂级数π-Armendariz环，则R是幂级数π-Armendariz环.

定理3.1中的“所有Rα的幂零有界指数有上界N”的条件是不能去掉的，文献[8]的例2.7给出了去掉该条件时的反例.

推论3.1 设R是一个环，e∈R是中心幂等元.如果eR和(1-e)R是幂级数π-Armendariz环，则R是幂级数π-Armendariz环.

证明 因为e∈R是中心幂等元，并且R=eR⨁(1-e)R，所以由定理3.1知结论成立.

定理3.2 设Δ是有限环R中的由中心正则元构成的乘法封闭子集，则Δ-1R是幂级数π-Armendariz环，当且仅当R是幂级数π-Armendariz环.

故f(x)g(x)∈nil(R[[x]]).

由于R是幂级数π-Armendariz环，所以aibj∈nil(R)(∀i，j)，从而αiβj=(uv)-1aibj∈nil(Δ-1R)，Δ-1R是幂级数π-Armendariz环.

必要性.因为R是Δ-1R的子环，据命题2.1(2)知结论成立.

引理3.1 如果R是一个具有幂零有界指数的NI环，则nil(R[[x]])=nil(R)[[x]].

证明 如果环R是一个具有幂零有界指数的NI环，则nil(R)是一个具有幂零有界指数的诣零环.根据文献[3]知nil(R)[[x]]是诣零的，因此nil(R[[x]])⊇nil(R)[[x]].又由引理2.1知nil(R[[x]])⊆nil(R)[[x]]，故nil(R[[x]])=nil(R)[[x]].

命题3.2 如果R是一个具有幂零有界指数的NI环，则R[[x]]是诣零半交换环.

命题3.3 如果R是有限环，则R[x]是幂级数π-Armendariz环，当且仅当R[x；x-1]是幂级数π-Armendariz环.

证明 令Δ={1，x，x2，…}，则Δ是环R[x]中的乘法封闭子集.因为R[x；x-1]=Δ-1R[x]，所以根据定理3.2知结论成立.

引理3.2 如果环R是α-容许环，则对任意的a，b∈R，ab∈nil(R)当且仅当aαk(b)∈nil(R)，其中k为任意正整数.

证明 由文献[9]之引理2.8即知充分性成立.

必要性.只需证明aα(b)∈nil(R)即可.因为ab∈nil(R)，所以存在正整数n使得(ab)n=0.因为环R是α-容许环，所以aα(bab…ab)=0，aα(b)α(ab…ab)=0，从而aα(b)ab…ab=0.由aα(b)aα(b…ab)=0可得aα(b)aα(b)ab…ab=0.重复利用R是α-容许环的性质可得(aα(b))n=0，故有aα(b)∈nil(R)，aαk(b)∈nil(R).

定理3.3 设R是α-容许环的NI环.如果环R是具有幂零有界指数的NI环，则R[x；α]是幂级数π-Armendariz环.

U(x)=f0+f1xk1+f2xk2+…+fnxkn+…∈R[[x；α]]，

V(x)=g0+g1xk1+g2xk2+…+gnxkn+…∈R[[x；α]].

从而

U(x)=a00+a01x+a02x2+…+a0txt+a10xk1+a11xk1+1+a12xk1+2+…+
a1txk1+t+…+an0xkn+an1xkn+1+an2xkn+2+…+antxkn+t+…∈R[[x；α]]，

V(x)=b00+b01x+b02x2+…+b0hxh+b10xh1+b11xk1+1+b12xk1+2+…+
b1hxk1+h+…+bn0xkn+bn1xkn+1+bn2xkn+2+…+anhxkn+h+…∈R[[x；α]].

由kn的取法知U(x)是包含所有fi系数的幂级数，V(x)是包含gi系数的幂级数.因为F(y)G(y)∈nil(R[x；α][[y]])，所以U(x)V(x)∈nil(R[x；α]).R是α-容许环和NI环，从而由文献[2]和命题3.4知aisαis∈nil(R).又由引理3.3知fi(x)gi(x)∈nil(R[x；α])，所以R[x；α]是幂级数π-Armendariz环.

推论3.2 如果环R是一个具有幂零有界指数的NI环，则R[x]是幂级数π-Armendariz环.

4 幂级数环的幂零p.p.性和弱zip性

对于环R的任一非空子集X，称NrR(X)={r∈R|Xr∈nil(R)}为X在环R中的弱零化子.称一个环R为幂零p.p.环，对任意的p∉nil(R)，如果NrR(p)(作为右理想)是由一个幂零元生成的.称一个环R是弱zip环，对于环R的任一非空子集X⊆R，如果NrR(X)⊆nil(R)，则一定存在一个有限子集Y⊆X，使得NrR(Y)⊆nil(R).称一个环R是左弱zip环，对于环R的任一非空子集L⊆R，如果NrR(L)⊆nil(R)，则一定存在一个有限子集H⊆L，使得NrR(H)⊆nil(R).如果环R既是右弱zip环又是左弱zip环，则称环R为弱zip环.

命题4.1 设R是具有幂零有界指数的NI环.如果环R是一个幂零p.p.环，则R[[x]]是一个幂零p.p.环.

证明 任取F=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…∉nil(R[[x]])，对任意的G=b0+b1x+b2x2+…+bmxm+…∈NrR[[x]](F)，则有FG⊆nil(R[[x]]).由引理3.1知FG⊆nil(R)[[x]]且环R为NI环，故由文献[2]之定理1，对任意的i，j，aibj∈nil(R).因为F∉nil(R[[x]])=nil(R)[[x]]，所以存在i使得ai∉nil(R).再由环R是p.p.环，存在c∈nil(R)使得NrR(ai)=cR.下面证明NrR[[x]](F)=cR[[x]].任取H=c0+c1x+c2x2+…+cpxp+…∉R[[x]]，因为c∈nil(R)且NI环的nil(R)是环R的一个理想，故对任意的i，j，aiccj∈nil(R)，即FcH∈nil(R)[[x]]=nil(R[[x]])，从而证明了cR[[x]]∈NrR[[x]](F).另一方面，因为bj∈NrR(ai)=cR，存在rj∈R使得bj=crj.又由G=b0+b1x+b2x2+…+bmxm+…∈NrR[[x]](F)，所以G=cr0+cr1x+cr2x2+…+crmxm+…=c(r0+r1x+r2x2+…+rmxm+…)∈cR[[x]]，即NrR[[x]](F)⊆cR[[x]].故NrR[[x]](F)=cR[[x]]，其中c∈nil([[R]]).

命题4.2 设R是具有幂零有界指数的NI环，则环R是一个弱zip环，当且仅当R[[x]]是一个弱zip环.

证明 必要性.假设环R是一个zip环，任取R[[x]]的一个非空子集X且满足NrR[[x]](F)⊆nil(R[[x]])，令Y表示X中所有元素的系数构成的集合.如果r∈NrR(Y)，则对任意的y∈Y，都有yr∈nil(R)，从而对任意的F=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…∈X，air∈nil(R).由引理3.1知Fr∈nil(R[[x]])，r∈NrR[[x]](X)⊆nil(R[[x]]).这就证明了r∈nil(R)，从而NrR(Y)⊆nil(R).因为环R是一个弱zip环，存在一个有限子集Y0⊆Y使得NrR(Y0)⊆nil(R).∀a∈Y0，存在Fa∈X使得Fa的某个系数为a.令X0是对任意的a∈Y0且满足Fa∈X0的X的极小子集，则X0是X的一个有限子集.设Y1表示X0中所有元素系数构成的集合，则Y0⊆Y1，进而NrR(Y1)⊆NrR(Y0)⊆nil(R).如果G=b0+b1x+b2x2+…+bmxm+…∈NrR[[x]](X0)，则对任意的F=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…∈X，FG∈nil(R[[x]])，再由引理3.1知FG∈nil(R)[[x]].因为环R为NI环，由文献[2]之定理1知aibj∈nil(R)，∀i，j.对任意的j，bj∈NrR(Y1)⊆nil(R)，从而由引理3.1知nil(R)[[x]]=nil(R[[x]])，故G∈nil(R[[x]])，即NrR[[x]](X0)⊆nil(R[[x]]).因此R[[x]]是一个弱zip环.

充分性.假设R[[x]]是一个弱zip环，任取环R的非空子集Y⊆R并满足NrR(Y)∈nil(R).如果F=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…∈NrR[[x]](Y)，则对任意的y∈Y，yF=ya0+ya1x+ya2x2+…+yanxn+…∈nil(R[[x]])，再由引理3.1知yF∈nil(R)[[x]].因为环R为NI环，由文献[2]知yai∈nil(R)，即ai∈NrR(Y).因此对任意的i，ai∈nil(R)，故F∈nil(R[[x]])，从而NrR[[x]](Y)⊆nil(R[[x]]).因为R[[x]]是一个弱zip环，存在一个有限子集Y0⊆Y1使得NrR[[x]](Y0)∈nil(R[[x]])，从而NrR(Y0)=NrR[[x]](Y0)∩R⊆nil(R)，故R是一个弱zip环.

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[2] HIZEM S.A note on nil power serieswise Armendariz rings[J].Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo，2010，59(1)：87-99.

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[8] HUH C，LEE C I，PARK K S，et al.Onπ-Armendarizrings[J].Bull Korean Math Soc，2007，44(4)：641-649.

[9] OUYANG L，CHEN H.On weak symmetric rings[J].Comm Algebra，2010，38(2)：697-713.

[10] SZASA F A.Radicals of rings [M].New York：John Wiley and Sons，1981：18-193.

(责任编辑：李亚军)

Power seriesπ-Armendariz rings

WANG Yao1，LI Min1，REN Yan-li2

(1.School of Mathematics and Statistics，Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing 210044，China；2.School of Information Engineering，Nanjing Xiaozhuang University，Nanjing 211171，China)

The concept of a power seriesπ-Armendariz ring is proposed.The extensions ofπ-Armendariz rings are studied which shows that ifRis of bounded index，an NI ring andα-compatible，thenR[x；α] isπ-Armendariz.Meanwhile，the nilpotent p.p. property and weak zip property of a power series ring are given.

power series ring；power seriesπ-Armendariz ring；NI ring；weak zip ring

1000-1832(2017)02-0015-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.004

2015-12-11

国家自然科学基金资助项目(11071097)；江苏省自然科学基金资助项目(BK20141476).

王尧(1962—)，男，博士，教授，主要从事环论研究；通信作者：任艳丽(1965—)，女，硕士，教授，主要从事环论研究.

O 153.3 [学科代码] 110·2104

A