胡旭东
摘要:求幂级数的和函数是级数学习的重点及难点内容,找到一个突破口,以点带面不失为一种寻求突破的好方法,这便是等比级数 。
关键词:幂级数 ;等比级数
幂级数是高等数学的重要内容之一,它在工程问题中有着较为广泛的应用,幂级数的应用和计算却相对复杂,不易掌握.。找到一个突破口,以点带面不失为一种寻求突破的好方法,这便是等比
级数 。以此为突破口,对研究函数项级数的收敛性判断、求和等问题有独到的作用,本文就此作简要描述。
一、求幂级数的收敛半径
利用幂级数 的收敛区间 容易理解 的收敛区间为 ,进而一步可以了知如下定理。
定理 1(柯西—阿达玛定理) 设 ,
则幂级数 在 内绝对收敛,在 内发散。特别地,幂级数 在 内绝对收敛,在 发散。这说明幂级数 在研究幂级数的收敛半径上有
着重要的作用,可以让初学者摆脱过度抽象带来的负面影响。
二、求幂级数的和函数
定理2设幂级数 的收敛半径是R,和函数为 ,那么(1) 在收敛域内连续。(2)幂级数在收敛域上可積,并且可以逐项积分或求导,即: ,或 ,并且积分或求导后的级数不改变收敛半径。
由此我们可以得到以下结论,这对于我们求幂级数和函数是大有帮助的。
推论 在 时,有如下结论:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (5)
(7) (8)
(9) (10)
(11) (12)
上述变化可谓丰富多彩,对(1)两端求导则生出(2),同理由(2)可以推出(3),对(1)两端积分则有(4),将(1)到(4)中 替换成 就得到(5)至(8),把(1)(4)(5)中 替换成 则演化为(9)(10)(11),对(11)两端积分便得(12)。如上真乃行云流水,叹为观止。
下面仅举一例说明上述变换的运用。
例、求 的和函数,其中 。
解:当 时,次级数一致收敛且有和函数存在,设
,那么
,利用推论公式(4)可得,
综上可见, 既是最简单的幂级数,也是最重要的幂级数。
通过对此级数的收敛性及和函数的研究与拓展,可以对幂级数的学习起到重要作用,特别是对求幂级数和函数必不可少,这是突破幂级数和函数学习的关键。
参考文献:
[1] 复旦大学数学系 《数学分析》(第二版) 高等教育出版社1983年11月第二版
[2] 《高等数学》 科学出版社 2011年2月第一版