2.1.1合情推理（教学设计）

李春香

教材说明：人教A版选修2-2《2.1合情推理与演绎推理》

课型：新授课

课时：1课时

学情分析

（一）学生已有知识基础或学习起点

学生已经具备了基本的逻辑知识，有较强的逻辑推断能力，掌握了简单命题和复合命题，以及命题之间的推断关系，即充分必要条件，能够用已有的知识的引申去解决一些生活中常见的推断问题.

（二）学生已有生活经验和学习该内容的经验

在前面学生已经通过对逻辑一章的学习，具备了基本的逻辑思维能力，结合已学过的数学实例和日常生活中的实例，具有了一定的探索，证明的经验，了解了逻辑证明在数学以及日常生活中的作用.

（三）学生的思维水平以及学习风格

由于受以前传统教学方式的影响，学生的数学证明思路仍然过于简单和没有逻辑性，还没有形成一套完整的思维体系去解决数学问题的证明.因此学习风格上拖泥带水，缺少谨慎思维和逻辑思维能力.

（四）学生学习该内容可能的困难

通过对本单元的课堂教学效果的分析可以看出学生在学习该内容的时候可能遇到如下困难：做归纳推理时思路比较单一，甚至归纳不出来；做类比推理时不能很好理解已有对象的性质.

（五）学生的学习方式和学法分析

由于学生的自我归纳能力较差，因此适合采用引导启发式授课方式，和合作交流的学习方法.又由于各种实例都是数学中和生活中常见的规律或现象，讲解时，应多帮助学生分析现象的本质，引发学生的思考，最后总结行之有效的推理模式和证明方法

教学内容分析

（一）教学的主要内容

本课的主要内容有：

合情推理（归纳推理，类比推理）

（二）教材编写的特点和设计意图

教材首先通过实例引出推理的概念，然后通过大量的实例学习归纳推理和类比推理两种合情推理.有助于发展学生的思维能力，提高学生的数学素养

教学目标

（一）知识与技能

1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义

2.能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用

（二）过程与方法

1.通过探索，研究，归纳，总结形成本节的知识网络

2.让学生认识到数学既是演绎的科学，又是归纳的科学，数学规律和结论的发现往往使用的是合情推理.

（三）情感态度与价值观

1.结合本节内容，强调推理与其他学科以及实际生活的联系，体会推理的意义及重要性

2.体会合情推理有助于培养学生进行归纳的严谨作风，从而形成实事求是好习惯.

教学重点

归纳推理及类比推理的定义

教学难点

（一）教会学生归纳推理的基本方法

（二）如何提高学生的数学思维能力

教学策略的选择与设计

以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发.在合情推理的讲授中运用讨论法、讲授法调动学生积极性，引导学生在学习过程中体会数学的应用价值，感受知识的无穷魅力.

教学资源与手段

资源：三角板，白粉笔，彩粉笔，多媒体课件

手段：利用幻灯片加载大量实例，更加贴合实际，容易分析，加强理解.

教学过程设计

创设情境：

在日常生活中，我们经常会自觉或不自觉地根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断.例如，当我们看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，就会得出即将下雨的判断.实际上这种思维方式就是推理.

问题：生活中还有哪些例子涉及推理？

导入新课：

1.哥德巴赫猜想：观察4=2+2，6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7，16=13+3，18=11+7，20=13+7，…，50=13+37，…，100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和.1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想.1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.

2.费马猜想：法国业余数学家之王——费马（1601—1665）在1640年通过对F0=220+1=3，F1=221+1=5，F2=222+1=17，F3=223+1=257，F4=224+1=65537的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n，任何形如Fn=22n+1的数都是素数.后来瑞士数学家欧拉，发现F5=225+1=4294967297=641×6700417不是素数，推翻费马猜想.

新课讲授：

1.教学概念：

① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

② 归纳练习：（ⅰ）由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？

（ⅱ）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？

（ⅲ）观察等式：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7+9=16=42，能得出怎样的结论？

③ 讨论：（ⅰ）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？

（ⅱ）归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是作出科学发现的重要手段）

（ⅲ）归纳推理的结果是否正确？（不一定）

2.教学例题：

①出示例题：已知数列{an}的第1项a1=2，且an+1=an1+an（n=1，2，…），试归纳出通项公式.

（分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想an →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）

②思考：证得某命题在n=n0时成立；又假设在n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立.由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）

③练习：已知f（1）=0，af（n）=bf（n-1）=1，n≥2，a>0，b>0，推测f（n）的表达式.

3.小结：①归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳.

下面我们来看合情推理的另外一种形式，请大家先看下面的练习：

1.练习：已知 ai>0（i=1，2，…，n），考察下列式子：（ⅰ）a1·1a1≥1；（ⅱ）（a1+a2）1a1+1a2≥4；（ⅲ）（a1+a2+a3）1a1+1a2+1a3≥9.我们可以归纳出，对a1，a2，…，an也成立的类似不等式为 .

2.猜想数列11×3，-13×5，15×7，-17×9，…的通项公式是 .

刚才我们做这两个小练习都是在不自觉中模仿给出的实例去“照葫芦画瓢”.实际上，我们人类的许多发明和重大发现，都是通过这种方式得到的.

鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比推理.

1.教学概念：

① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.

② 类比练习：

（ⅰ）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体？

（ⅱ）平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？

（ⅲ）由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征.（教材P81 探究 填表）

小结：平面→空间，圆→球，线→面.

③ 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.

2.教学例题：

① 出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.（得到如下表格）

②出示例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.

思维：直角三角形中，∠C=90°，3条边的长度a，b，c，2条直角边a，b和1条斜边c；

→3个面两两垂直的四面体中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°，4个面的面积S1，S2，S3和S

3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.→ 拓展：三角形到四面体的类比.

类比是一个伟大的引路人，求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.

——数学家波利亚

3.小结

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.

课堂小结：

教学反思

（一）目标的达成

通过教师的引导和启发，学生学会了如何进行归纳推理与类比推理，如何正确地归纳出一般结论，并记住了一些常用结论.通过本单元的学习，达到了巩固知识和提高能力的双重目的.

（二）教具的使用

幻灯片能有效增大课堂容量，节省了教师抄题的时间，可以把更多的时间留给学生思考，交流讨论.而且对于几何问题的证明更加形象逼真.

（三）遇到的问题

1.由于中国文化历史悠久，很多字词在不同的语境里含义各不相同，在分析个别日常生活中的实例时，容易产生歧义.

2.在类比推理的教学过程中，发现个别同学不能很好理解原有实例的产生过程，以至于做类比结论时产生偏颇.

（四）优点、不足和改进计划

1.优点：本节课授课，使用数学语言谨慎周密，能培养学生良好的语言习惯，给学生树立很好的榜样；授课过程中始终坚持学生为主体的思想，通过给学生提供自主探索和独立思考的时间和空间，引导他们发现实例中的规律，以及总结形成知识网络.

2.不足：在进行归纳推理和类比推理教学的时候，对学生提出的一些偏离教材的答案准备不足，个别问题没有及时纠正；题目的设计上缺少平面几何与空间几何的类比题目.

3.改进计划：发扬自己的优势，继续扩大自己的知识面，多做一些推理论证的题目，开阔自己的视角和思路；在以后的教学中更加深入的挖掘教材的内涵，多做准备工作，尽量多的考虑到学生可能有的各种反应；课堂教学过程中，继续保持良好的语言习惯，带动学生严谨的思考问题.