公切线

摘 要：与两曲线同时相切的直线即为两曲线的公切线，公切线可分切点相同和切点不同这两种情况. 比较两曲线大小，可通过数形结合思想，用公切线加以解决.

关键词：比较两曲线大小；公切线；数形结合思想

在平时的解题中，笔者发现：公切线在比较两曲线大小时发挥着非常好的中介作用，大大优化了此类试题的解题过程，给我们全新的解题视角，现分两类举例说明.

[?] 切点相同型

当切点相同时，公切线可很好地处理“f（x）≥g（x）”这种情况.

例1 （2011年辽宁卷）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在点P处的切线斜率为2.

（1）求a，b的值；

（2）证明：f（x）≤2x-2.

分析：在证明f（x）≤2x-2时，我们常直接构造函数：h（x）=f（x）-2x+2，通过导数研究函数y=h（x）的单调性，再证明：函数y=h（x）≤0恒成立就行了，所以高考给出如下参考答案.

证明：（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）知f（x）=x-x2+3lnx.

设h（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，则

h′（x）=-1-2x+=-.

当00；当x>1时，h′（x）<0.

所以h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.

而h（1）=0，故当x>0时，h（x）≤0，即f（x）≤2x-2.

上述解题方法很常规，没什么新意，笔者经研究发现：借助公切线能很好地处理此题，另证明如下：

（1）（略）a=-1，b=3.

（2）要证：f（x）≤2x-2，即要证：x2+x-2≥3lnx.

设函数g（x）=x2+x-2，h（x）=3lnx，

易得：当x=1时，g（x）=h（x）.

而函数g（x）=x2+x-2与函数h（x）=3lnx在（1，0）点处的切线均为：y=3x-3，即直线y=3x-3为两函数g（x）=x2+x-2，h（x）=3lnx的公切线.

结合图象（如图1）易得：g（x）≥3x-3≥h（x），且g（x）=3x-3与h（x）=3x-3同时在x=1时成立.

所以：g（x）≥h（x），即f（x）≤2x-2成立.

[y][O][x][-2][1]

图1

[?] 切点不同型

当切点不同时，公切线可很好地处理“f（x）>g（x）”这种情况.

例2 已知函数f（x）=ax-lnx（a∈R），g（x）=，

（1）若a=1，求f（x）的极小值；

（2）在（1）的条件下证明：f（x）-1>g（x）-.

分析：（1）利用导数求解；

（2）在证明f（x）-1>g（x）-时，我们常直接构造函数：h（x）=f（x）-g（x）+-1，通过导数研究函数y=h（x）的单调性，再证明：函数y=h（x）>0恒成立就行了. 于是就有如下解题过程：

设函数h（x）=f（x）-g（x）+-1=x-lnx-+-1.

令h′（x）=1--==0，即得：x2-x+lnx-1=0.

评析：此方程是个超越方程，一般情况下，超越方程的根是目测出来的，而不是求出来的. 而恰恰此超越方程的根就无法目测，而通过两函数y=x2-x-1和y=-lnx的图象，我们又知道方程：x2-x+lnx-1=0必定有根，但就是求不到，所以到这里，此题做不下去了. 我们发现常用方法对此题不适用.

当然，公切线也能很好地处理此题，证明如下：

证明：（1）略.

（2）函数y=f（x）-1在（0，1）上是单调递减函数，在（1，+∞）上是单调递增函数，在点（1，0）处的切线为x轴，函数y=g（x）-在（0，e）上是单调递增函数，在（e，+∞）上是单调递减函数，在点（e，0）处的切线也为x轴.

即x轴为两函数y=f（x）-1，y=g（x）-的公切线.

结合图象（如图2）易得：f（x）-1≥0≥g（x）-，而f（x）-1=0与g（x）-=0不能同时成立，所以只能得：f（x）-1>g（x）-.

众所周知，在数学学习中，没有创新就没有进步，没有创新就没有数学能力的发展与提高，通过上述两例，我们发现了一个新事物——公切线，这就是创新，通过这个小小的创新，让我们的解题思路更宽、更广了，希望读者在平时的数学解题中，多多进行这样的创新思考和探索.