例谈数列中几种常见数学思想的运用

吴燕梅

摘 要：数学思想方法作为数学教育的重要内容，已日益引起人们的注意，加强数学思想方法的研究与教学，能使学生从烦琐的解题中找到“窍门”，真正做到触类旁通，达到举一反三的效果.

关键词：高中数学；数学思想；数列；运用

数列知识的考查在高中数学中占据重要部分，其问题中蕴涵丰富的数学思想和方法，而数学思想是认识、理解和掌握数学的意识. 在解决数列问题时如果能够充分运用这些思想，可以使很多数列问题变得直观、简洁与巧妙，笔者选取几例说明高中几种数学思想在数列问题上的应用.

[?] 函数与方程思想

问题1.1 已知数列{an}的通项公式an=n2+kn+2，若对n∈N*，都有an+1>an成立，则k的取值范围是______.

分析：因为an+1=（n+1）2+k（n+1）+2，所以?n∈N*，an+1>an，即k>-（2n+1）恒成立，得k>-3.

点评：数列是一类特殊的函数，其自变量n∈N*，本题考查数列中的单调性和恒成立问题.类比函数中的方法，问题迎刃而解. 从数列的通项公式思考，容易发现，其可视为二次函数的单调性来研究，考虑到定义域的特殊性，应该满足-<，即k>-3.

问题1.2 已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6，则数列

的前5项和为________.

分析：因为9S3=S6，所以q≠1，则9=，得q=2；

由{an}是首项为1的等比数列得

是以=1为首项、以=为公比的等比数列，所以

的前5项和为=.

点评：在求解等差（等比）数列的通项公式与前n项和问题中，一般都先根据已知条件列方程或方程组解出数列的基本量，方程思想在这里起了主导作用.

[?] 数形结合思想

在解决数列问题时，一方面要考虑数列其特殊的函数身份，可以帮助我们想到借助函数图象处理复杂的问题；另一方面，数列也常与不等式、解析几何等交叉出题，此类问题要思考：数的问题借助形去观察，而形的问题借助数去思考.

问题2 如图1，从点P1（0，0）作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1（0，1），曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2，再从点P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn. 记Pk点的坐标为（xk，0）（k=1，2，…，n），试求xk与xk-1的关系（2≤k≤n）.

分析：设Pk-1（xk-1，0），由y′=ex得

Qk-1（xk-1，exk-1）处的切线方程为y-exk-1=exk-1（x-xk-1）.

点Pk（xk，0）在Qk-1处的切线上得xk-xk-1=-1（2≤k≤n）.

点评：本题即以图形的问题出现，讨论点的生成规律，利用形中的具体特征，从直线的斜率与导数的关系找到解题突破口——巧设点Pk-1，利用点斜式方程写出切线方程，再探求xk与xk-1的关系.

[?] 分类与整合思想

问题3.1 数列{an}的通项an=n

cos2-sin2

，其前n项和为Sn，则S2012=________.

分析：因为an=ncosnπ=n，n=2k，k∈N*，

-n，n=2k-1，k∈N*，

所以S2012=a1+a2+…+a2012=（-1）+2+（-3）+4+…+（-2011）+2012=1+1+…+1=1006.

点评：数列{an}的通项公式反映an与n之间的关系，在求解时要注意对表达式关系进行分类整理，涉及（-1）n，sinnπ，cosnπ等具体“+、-”符号与数列中奇偶项对应的问题要分类讨论；数列通项另一细节问题是注意对n=1，n≥2表达式是否是一种形式要检验再进行合并整理.

问题3.2 当p1，p2，…，pn均为正数时，称为p1，p2，…，pn的“均倒数”，已知数列{an}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为.

（1）试求数列{an}的通项公式；

（2）设cn=，试判断说明cn+1-cn（n∈N*）的符号；

（3）已知bn=tan（t>0），记数列{bn}的前n项和为Sn，试求的值.

分析：（1）（2）解析略；

（3）因为bn=tan=t4n-1（t>0），所以Sn=b1+b2+…+bn=t3+t7+…+t4n-1；

（ⅰ）当t=1时，Sn=n，则=；

（ⅱ）当t>0，t≠1时，Sn=，则=.

综上可得=

，t=1，

，t>0，t≠1.

点评：等比数列求和公式中考虑公比q=1，q≠1两种情况，是分类讨论思想的直接体现与应用. 当q=1，Sn=na1；当q≠1，Sn=（其中a1是数列的首项）.

[?] 转化与化归思想

问题4 已知数列{an}的首项a1=，an+1=（n=1，2，3，…），则数列{an}的通项公式为________.

分析：根据递推式的特点，对等式两边取倒数后进行变换，转化为先求等比数列通项，即=+·，设+λ=

+λ

?λ=-1，所以-1=

-1. 又-1=，所以

-1是以为首项、为公比的等比数列. 所以-1=

n，即an=.

点评：利用数列递推公式求通项公式的主要思想是将其转化为特殊的数列（如等差、等比数列等）加以解决，是转化思想在数列问题中的集中体现之一. 其特点是把生疏的问题化归为熟悉的问题，将复杂的问题变成一般的问题来解决.

[?] 特殊与一般思想

其思想主要特点：（1）先由特殊情况得到一般规律，再对一般情况进行分析；（2）对一般情况成立的结论对特殊情况也一定成立.

问题5 已知集合A={a1，a2，…，ak}（k≥2），其中ai∈Z（i=1，2，…，k）. 由A中元素构成两个相应的集合：

S={（a，b）

a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）

a∈A，b∈A，a-b∈A}，其中（a，b）是有序数对，集合S，T中的元素个数分别是m和n.若对任意的a∈A，总有-a?A，则称集合A具有性质P.

（1）检验集合{0，1，2，3}和{-1，2，3}是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合写出相应的集合S，T；

（2）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤.

分析：（1）因为0∈{0，1，2，3}，而-0∈{0，1，2，3}，所以{0，1，2，3}不具有性质P；

对于任意a∈{-1，2，3}，-a?{-1，2，3}，则集合{-1，2，3}具有性质P. 根据定义得：

S={（-1，3），（3，-1）}，T={（2，3），（2，-1）}.

（2）设集合A={a1，a2，…，ak}（k≥2）具有性质P，则0?A，否则-0∈A与A具有性质P矛盾，所以集合T中元素特征是：

（ⅰ）（ai，ai）?T（i=1，2，…，k），否则ai-ai=0∈A与0?A矛盾；

（ⅱ）（ai，aj）与（aj，ai）（i≠j）中至多只有一个属于T，否则ai-aj与-（ai-aj）均属于A与A具有性质P矛盾.

由此可知T中元素最多只可能是从A中k个元素任取2两个元素的组合C=，所以n≤.

点评：（1）中先由一般到特殊，检验特殊集合并写出特殊的S和T；

（2）问是由（1）问一般化而来，从一般的T中元素个数的证明，涉及排列组合知识.

数学思想方法作为数学教育的重要内容，已日益引起人们的注意，加强数学思想方法的研究与教学，能使学生从烦琐的解题中找到“窍门”，真正做到触类旁通，达到举一反三的效果.