关于一类特殊二阶变系数齐次微分方程特解的注记

谢红燕 黄斌

【摘要】主要论述了具有二阶三角函数形式变系数微分方程的特解的结构，给出了三角函数形式的特解存在的形式和充要条件.

【关键词】 变系数；三角函数；微分方程；特解

【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A

【基金项目】衢州学院校级精品课程资助

在高等数学中，关于二阶常系数微分方程解的结构和解法进行了详细的讨论.对于二阶变系数齐次微分方程的特解的求解，没有具体的通用求解方法.文献[1][2]利用观察法探讨了部分特殊二阶变系数齐次微分方程的解法：

考虑二阶变系数齐次

f(x)y″+p(x)y′+q(x)y=0

（1）

满足：

f(x)+p(x)+q(x)=0

和

p(x)=f(x)+q(x)

时等五种情形.其构造特解是以eu函数为基础，所求特解具有关于e指函数的特征.若是系数中有三角函数出现时，文献中的观察法就不太容易实现.

因此，本文从另一个角度出发，不妨假设所求一个特解为三角函数的形式，从而并给出满足方程的具有三角函数特征的特解存在的充要条件.

定理1 方程（1）满足条件：

f(x)=q(x)+acosx－bsinxasinx+bcosxp(x)，

有形如：

y=asinx+bcosx（y≠0且a,b为非零常数）的特解.

证明 充分性：

∵f(x)=q(x)+acosx－bsinxasinx+bcosxp(x),

∴f(x)(asinx+bcosx)=q(x)(asinx+bcosx)+(acosx－bsinx)p(x).

即：

f(x)(asinx+bcosx)″+p(x)(asinx+bcosx)′+q(x)(asinx+bcosx)=0.

∴y=asinx+bcosx是方程（1）的特解.

必要性：

∵y=asinx+bcosx,

∴y′=acosx－bsinx,y″=－asinx－bcosx.

代回原方程（1）

－f(x)(asinx+bcosx)+p(x)(acosx－bsinx)+q(x)(asinx+bcosx)=0，

整理可得：

f(x)(asinx+bcosx)=q(x)(asinx+bcosx)+(acosx－bsinx)p(x).

即f(x)=q(x)+acosx－bsinxasinx+bcosxp(x).

综上所述，定理成立.

例1 求方程(5sin2x)y″+2(3sinx+2cosx)2y′－(12cos2x)y=0的一个特解.

解 由题意可得

f(x)=5sin2x，p(x)=2(3sinx+2cosx)2，

q(x)=－12cos2x，且a=3,b=2.

∵q(x)+p(x)3cosx－2sinx3sinx+2cosx=－12(cos2x－sin2x)+2(3sinx+2cosx)2•3cosx－2sinx3sinx+2cosx=5sin2x=f(x),

即：f(x)=q(x)+3cosx－2sinx3sinx+2cosxp(x),

所以方程有一个如下三角形式的特解：

y=3sinx+2cosx.

验证：将特解y=3sinx+2cosx代入方程（1）得

(3sinx+2cosx)［－10sinxcosx+10sinxcosx+12(cos2x－sin2x)－12cos2x］=(3sinx+2cosx)(12cos2x－12cos2x)=0.

即y=3sinx+2cosx是方程的特解.

推论1：当a=0时，方程（1）满足条件：

f(x)=q(x)－tanxp(x)，

有形如y=γcosx（其中γ为任意非零常数）的特解.

推论2：当b=0时，方程（1）满足条件：

f(x)=q(x)+cotxp(x)，

有形如y=γsinx（其中γ为任意非零常数）的特解.

证明同上.

例2 求方程cos2xy″+sin2xy′+y=0的一个特解.

解 由题意得f(x)=cos2x，p(x)=sin2x，q(x)=1.∵q(x)－tanxp(x)=1－tanx•sin2x=1－2sin2x=cos2x，

∴f(x)=cos2x=q(x)－tanxp(x).

即方程有一个形如y=γcosx的特解.（其中γ为任意非零常数）

本文重点讨论了方程（1）在满足特定条件下具有三角形式的特解.

取acosx－bsinxasinx+bcosx=k(k≠0)时，便可类似得到文献[1]的部分结论，本文的结论将文献[1]原有部分结论做了推广.

【参考文献】

[1]张清芳,库在强.用观察法求某些二阶系数齐次方程的通解[J].高等数学研究,2005,8(3): 47-48.

[2]巩子坤.用观察法求二阶变系数齐线性方程的非零特解[J].高等数学研究,2010,13(3):24-25.