数学思想方法教学的探索

杨海燕

【摘要】 从教育的角度来看，数学思想方法比数学知识更为重要，这是因为知识的记忆是暂时的，数学思想方法的掌握是永久的；知识只能使学生受益一时，数学思想方法将使学生受益终生. 因此，必须重视数学思想方法的教学.具体地说就是：激发学生学习数学思想方法的内在动机；结合数学教学内容，在具体情境中教学数学思想方法；按程序性知识学习规律教学数学思想方法；指导学生监控数学思想方法的使用；让学生在合作学习中运用数学思想方法.

【关键词】 数学知识；数学思想方法；数学教学

中学数学内容（基本要求）的整体结构有两根强有力的支柱，即数学知识与数学思想方法.数学思想方法产生数学知识，数学知识又蕴载着思想方法，二者好比鸟之双翼，须臾不离，缺一不可.从教育的角度来看，数学思想方法比数学知识更为重要，这是因为知识的记忆是暂时的，数学思想方法的掌握是永久的；知识只能使学生受益一时，数学思想方法将使学生受益终生.日本学者米山国藏指出：“无论是对于科学工作者、技术人员还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学的知识只是第二位.”世界著名数学家波利亚在60年代曾做过统计，普通中学的学生毕业后在其工作中需要用到数学的（包括数学家在内）约占全部学生的30%，而其余的70%则几乎用不到任何具体的数学知识.正是基于这样的分析，波利亚认为：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识（即是指一般性的思想方法或思维模式）.”这就是说，在数学教学中，必须重视数学思想方法的教学.那么怎样在数学教学中进行数学思想方法的教学？笔者的观点是：

一、激发学生学习数学思想方法的内在动机

要想使学生主动学习并掌握数学思想方法，必须让学生认识到数学思想方法能帮助自己提高学习效率，改善学习成绩.这样才有可能受到激励，产生学习数学思想方法的动机.因此，在数学教学中，教师要注意通过演示、讲解、讨论等，突出数学思想方法在学习和解决问题中的作用和价值，使学生认识到数学思想方法对学习有改善作用.

例如，问题1：对于每个实数x，设f（x）是4x + 1，x + 2和-2x + 4三个函数中的最小值，求f（x）的最大值.

分析：题中没有直接给出f（x）的表达式，想通过抽象的数量关系分析求解，显然是困难较大，但是如果运用数形结合的思想方法，将问题与函数图像联系起来，利用图像的直观作用，就容易弄清f（x）的具体内容，确定取最大值的点的位置，使原题顺利解出. 即在同一平面角坐标系中，作函数

y = 4x + 1 ①

y = x + 2 ②

y = -2x + 4 ③

的图像，如图1，观察图像即得f（x）的最大值是直线y = x + 2与直线y = -2x + 4的交点E的纵坐标，即函数f（x）有最大值■.

为了激发学生学习数学思想方法的的兴趣，教师还可以让学生比较、评价自己使用数学思想方法和不使用数学思想方法条件下的学习成绩，要让学生明白，优良的数学成绩是正确应用数学思想方法的结果，来激励学生学习数学思想方法的主动性.从而看到数学思想方法运用所带来的好处.

二、结合数学教学内容，在具体情境中教学数学思想方法

因为数学思想方法的应用往往离不开具体的数学内容，所以数学思想方法的教学应作为学生面临的实际学习任务的一部分来教，通过提供数学思想方法可以应用的情境，让学生逐步学会数学思想方法.

例如，“垂线”概念的教学设计：

活动一：操作

如图2，让学生把课前准备好的“相交线模型”中的其中一根木棒固定，把其中的另一根木棒绕固定点转动，观察转动过程中，把你认为两根木棒比较美观的特殊位置固定.

活动二：画图

引导学生用几何图形表示两根木棒的特殊位置，并标上字母（如图3）.

活动三： 测角

引导学生用量角器测量图3中的四个角.

活动四：形成概念

让学生为这一特殊情形命名，并用自己的语言下定义，然后与书本上比较异同.

活动五：反思

让学生反思垂线概念是怎样得到的，与相交线概念的联系.

以上的教学过程，其渗透的是从一般到特殊、运动与静止、数学抽象、数学美等重要的数学思想方法. 学生通过数学活动，形成了丰富的垂线概念的表象，水到渠成地得到垂线的定义，当学生对垂线概念自主建构的同时，也获得了对数学思想方法的体验.

数学思想方法与数学知识的结合是非常紧密的，是相互渗透、互相融合的，只要教师在教学中有意识地进行渗透、传授，学生就能获得大量的关于解决问题的一般的特殊的数学思想方法.因为能提高人的学习记忆和思维效率的数学思想方法是无数的，虽然某些简单的数学思想方法可以很快地学会，但大部分数学思想方法的学习是不能立竿见影的，所以数学思想方法的训练是长期、反复和螺旋上升的.

三、按程序性知识学习规律教学数学思想方法

数学思想方法也是一种程序性知识，其教学应符合程序性知识的学习规律.先是提供数学思想方法应用的实例，通过师生共同分析归纳出有关的数学思想方法，再在教师指导下进行该数学思想方法的应用练习.比如，“逆向思考方法”的教学，教师从“司马光砸缸”的故事开始，让学生讨论“司马光砸水缸救人”运用的方法，当学生从故事中概括出：将“人救出水”办不到时，就让“水离开人”，那么“逆向思考的数学方法”也就水到渠成了.然后让学生尝试解题：池塘里睡莲覆盖的面积每天增大 1 倍，若经17天，可长满整个池塘.问长满半个池塘需要多少天？有的学生从正向思考，解法较繁，有的学生逆向思考，解法较巧.即由“每天增大 1 倍”知，从覆盖一个池塘退回覆盖半个池塘只需1 天，故长满半个池塘需17 - 1 = 16（天）.当学生体会到好的问题解决通常要应用有效的数学思想方法时，就能自发地运用所学习的数学思想方法来调控其学习.

接着，让学生运用该数学思想方法进行练习（练习题略）.

在数学思想方法教学中，重视数学思想方法的发现，强调让学生多进行在一系列相似情境和不同情境中的变式操作，这对数学思想方法的掌握是大有裨益的.

四、指导学生监控数学思想方法的使用

在数学思想方法运用过程中，学生需要不时地检测数学思想方法运用的程度，分析当前的学习任务是否满足数学思想方法运用的条件，利用数学思想方法取得了哪些进展等.

例如，解关于x的方程：x4 - 10x3 - 2（a - 11）x2 + 2（5a + 6）x + 2a + a2 = 0.

这是一个关于x的四次方程，学生解决这一问题的常规方法是降次，通过因式分解将4次降为2次，但按这样的方法解决问题并非容易.这时，教师要引导学生自我提问：“我的解题方法能够彻底解决问题吗？”“如果不行，我能换一个思考角度，或者换一种解题方法吗？”等.事实上，如果换一个思考角度，采取逆向思维方法思考，将x视为常量，而将a看为变量，问题就转化为解关于a的二次方程a2 - 2（x2 - 5x - 1）a + （x4 - 10x3 + 22x2 + 12x） = 0的问题.解该方程得a = x2 - 6x 或 a = x2 - 4x - 2.到此，我们再把x看为变量，a视为常量，解关于x的二次方程，得x1，2 = 3± ，x3，4 = 2± .

“自我提问”就是让学生通过自我意识相应地调节自己的思维和行动.在数学思想方法教学中，教师要不断提醒学生数学思想方法应用的适用条件，教会他们通过“自我提问”监控利用数学思想方法时所取得的进展，问题一旦发现，则要教他们如何尝试矫正并加以评价，并逐步把外部指导内化为学生自己监控和调节过程.

现代认知心理学认为所有的研究都要强调教学生知道何时、何处应用已学过的数学思想方法的重要性，教会他们注意正在使用的数学思想方法在什么场合使用以及是否适用，则效果更加好.比如，在解题教学中，先让学生独立思考解题的思路，然后组织学生讨论，在讨论中，让学生说出自己的解题过程，大家对照过程和结果，看看谁的方法最好，从而寻找最佳解题思路，这是训练数学思想方法的一种有效方法.因为有效，它对数学思想方法的概括和保持是关键性的.

五、让学生在合作学习中运用数学思想方法

所谓合作学习，是指教学活动中学生相互讨论、互相提问、互相帮助、共同学习的形式.它被现代认知心理学家视为数学思想方法教学中的一种重要的教学组织形式.

在合作学习中，通过学生间的相互观察和模仿，可以更贴近地观测他人巧妙使用的数学思想方法，通过“跳一跳”使自己掌握新的数学思想方法.在合作学习中，由于学生之间更密切地接触交流，能更清楚自己与其他同学在掌握数学思想方法上的差距，从而产生“奋起直追”的念头，起到学习数学思想方法的激励和鞭策作用.

因此，在数学思想方法的教学中，教师应大胆创设宽松的民主气氛，使学生敢于、乐于思考和讨论，让他们的思维进入自觉的思维情境中，有效地学习数学思想方法.

【参考文献】

沈文选. 中学数学思想方法[M]. 长沙：湖南师范大学出版社，1996.