从江苏高考看二元函数的值域或最值

黄健

【摘要】近年来，江苏高考中经常出现二元或三元函数求最值或值域的试题，这类试题变量较多，考查函数思想、数形结合思想、转化与化归思想等，有一定的难度，学生往往无从下手.本文通过示例谈谈这类问题的求解策略，以期帮助大家提高解决这类问题的能力.

【关键词】二元函数；函数思想；数形结合

问题1：（2008江苏11题）设x，y，z为正实数，满足x-2y+3z=0，则y2xz的最小值是.

解析题中有三个量，通过合理消元将目标函数化为二元函数.

由x-2y+3z=0得y=x+3z2，代入y2xz得x2+9z2+6xz4xz≥6xz+6xz4xz=3，

当且仅当x=3z时取“=”.

说明题设条件给出的变量间的关系是等量关系，可以用函数法、基本不等式等方法解决.本题考查二元基本不等式的运用.

演练1已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，求xyz的最大值.

解析x+y+z=1两边平方得：3+2xy+xz+yz=1，即xy+zx+y=-1，又x+y=1-z，所以xy+z1-z=-1，xyz=-1-z1-zz=z3-z2-z.

由3-z2=x2+y2≥2xy=2-1-z1-z得-1≤z≤53.

记f（z）=z3-z2-z，由导数相关知识不难求出最大值为527.

说明本题条件给出的是等量关系，可考虑用函数法、基本不等式等方法.合理变形消元将目标函数化为一元函数是解决好本题的关键，不能忘记函数的定义域.

问题2：（2010江苏12题）设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤x2[]y≤9，则x3[]y4的最大值是.

解析一

x2[]y2∈[16，81]，1[]xy2∈1[]8，1[]3，x3[]y4=x2[]y2·1[]xy2∈[2，27].

解析二由题意不难发现x>0，y>0，对两不等式分别取常用对数得：

lg3≤lgx+2lgy≤3lg2，2lg2≤2lgx-lgy≤2lg3，目标函数可以转化为3lgx-4lgy，令lgx=u，lgy=v，问题转化为线性规划问题，不难求得最大值为27.

说明题设条件给出的变量间的关系是不等关系，可转化为规划问题解决.本题考查不等式的基本性质、等价转化思想.

问题3：（2012江苏14题）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则b[]a的取值范围是.

解析条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化为：3·ac+bc≥5，ac+bc≤4，bc≥eac.

设ac=x，y=bc，则题目转化为：

已知x，y满足3x+y≥5x+y≤4y≥exx>0，y>0，求y[]x的取值范围.

作出（x，y）所在平面区域，由规划知识不难求得yx的取值范围为e， 7，即ba的取值范围是e， 7.

说明题中有三个量，通过恰当合理地转化，条件化为二元不等关系，可转化为规划问题解决.主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算、平面区域以及化归与转化的数学思想，关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.

演练2已知△ABC的三边长a，b，c满足b+2c≤3a，c+2a≤3b，求ba的取值范围.

解析令x=ba，y=ca，由b+2c≤3a，c+2a≤3b，得x+2y≤3①，y+2≤3x②.

又a-bc，

得-y<1-xy④.

问题转化为已知两个变量x，y的不等关系，求变量x的范围，可用线性规划的方法处理.

作出平面区域，可得ba的取值范围是34，53.

说明本题考查了三角形三边之间的关系，会进行简单的线性规划，考查了化归与转化、数形结合的数学思想.

以上几道题目给我们的启示：一般地，求二元函数的值域或最值问题，如果题设条件给出的变量间的关系是等量关系，那么可以用函数法、基本不等式等方法解决；如果题设条件给出的变量间的关系是不等关系，可转化为规划问题来求解.若题中有多个变量，可根据题意减少变量的个数.