关于圆锥曲线中一个结论的探究与总结

金丽

【摘要】大家知道，关于圆锥曲线的统一性质和结论有许多，如能对这些性质和结论熟练理解和掌握，它不仅可以帮助我们快速解题，还有利于我们更加深刻地理解和认识圆锥曲线.本文从一个具体的题目出发，浅析与圆锥曲线相关的统一性质和结论.

【关键词】椭圆；双曲线；抛物线

引题过抛物线C：y2=4x焦点F的直线L交抛物线C于P，Q两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线QM的方程可能为（）.

A.3x+2y+4=0B.3x-5y+6=0

C.2x+3y+4=0D.x-2y+1=0

解析本题考查直线与抛物线的位置关系.解决这题我们自然想到：若把“作点P的对称点”变为“作点Q的对称点”，又根据抛物线关于x轴对称可以发现：这些动直线QM过一定点，且在x轴上.根据这样的想法进行解题得知：直线与x轴的交点是该抛物线的准线与x轴的交点.

性质1过抛物线C：y2=2px（p>0）焦点F的直线L交抛物线C于P，Q两点，若点P关于x轴对称的点为M（M与Q不重合），证明：直线QM一定通过该抛物线的准线与x轴的交点.

证明设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线L方程：x=my+p2，则M（x1，-y1），

∴QM方程的斜率是k=y2+y1x2-x1，那么直线QM方程为：y-y2=y2+y1x2-x1（x-x2）.

又点P，Q两点均在抛物线C：y2=2px（p>0）上，∴x1=y212p，x2=y222p.

∴直线QM方程变为

y=y2+y1y222p-y212px-y222p+y2=2py2-y1x-y1y2y2-y1.

联立抛物线C：y2=2px（p>0）与直线L方程：

y2=2px，x=my+p2， 消去x，得

y2-2pmy-p2=0，

∴y1y2=-p2.

∴直线QM方程为

y=2py2-y2x+p2y2-y1=2py2-y2x+p2.

∴直线QM过定点-p2，0，即过抛物线的准线与x轴的交点.

性质2设椭圆方程C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），过椭圆右焦点F2直线L交椭圆C于P，Q两点，若点P关于x轴对称的点为M（M与Q不重合），证明：直线QM一定通过该椭圆的右准线x=a2c与x轴的交点即为点a2c，0.

证明由题意可知，直线的斜率一定存在，设直线L方程是y=k（x-c），P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1，-y1），直线QM方程的斜率是k=y2+y1x2-x1，那么直线QM方程为：y-y2=y2+y1x2-x1（x-x2），即

y=y2+y1x2-x1（x-x2）+y2

=k（x1+x2）-2kcx2-x1x-2kx1x2-kc（x1+x2）x2-x1.

联立椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）与直线L方程：

y=k（x-c），x2a2+y2b2=1， 消去x，得（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0，根据韦达定理，得

x1+x2=2a2k2cb2+a2k2，

x1x2=a2k2c2-a2b2b2+a2k2，

代入上直线方程中得