例说高三数学“说题”教学

莫定勇　刘小红

【摘要】随着课改的深入，《数学课程标准》的落实，高三数学的授课方式有了较大的变化，笔者试验了“说题”教学方式.“说题”的主要内容是：说知识、说思路、说步骤、说变式、说反思.其中说反思包含有反思解题的根据、关键、思路和思想方法.本文以一例说明“说题”教学方式，交流“说题”体会.

【关键词】例说；说题；说题的内容

一、问题的提出

随着新课改的不断深入，高中数学的授课方式有了很大的改变.但是，在日常高三数学教学中，传统的授受式仍占很大比重，多数课堂还是老师讲，学生听，老师讲得多，学生自己钻研得少.课上老师讲的听懂了，可一到自己做题时，尤其是略微有一点难度的题，就感觉束手无策了.这是为什么？

普通高中《数学课程标准》（简称《课标》）的基本理念要求：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.”《课标》目标指出：“学生通过不同形式的自主学习、探究活动、体验数学发现和创造的历程”，“提高数学表达和交流的能力”，“提高学生的数学学习兴趣，形成批判性的思维习惯，体会数学的美学意义”.从而“树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观”.

怎样改变高三“授受”式教学，实现《课标》目标，提高高三数学复习课的课堂效率，需要改变我们的教学方式，笔者通过实验认为，采用“说题”教学是一种很好的教学方式.

二、说题的内容

说题，就是把读题、分析、解答和反思的思维过程按一定程序说出来.也就是使学生从各个角度积极地思考，暴露学生的思维全过程，使学生主动获取知识，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.具体地说，说题应包括如下内容：

1.说题意.主要指题目的条件和结论，条件与结论之间的关系，特别要注意挖掘隐含条件.

2.说知识.即题目的条件和结论所涉及的知识点（包括定义、公式、法则、定理、方法和原理等）.

3.说思路.即说条件、结论间的联系和转化，说自己的想法和猜测，说其他的解法和思路.

4.说步骤.即说每种思路解答的步骤、格式和表述.

5.说变式.说题目条件或结论进行适当变化之后，与原题目的区别和联系.说检查解题的思想，升华为观念.

6.说反思.

（1）反思根据.反思每种解法是如何想到的，这样想的根据是什么.

（2）反思关键.反思每种解法的关键点和特别注意点，反思解法的“得意”之举、“失败”之因.

（3）反思思路.反思不同思路的区别、联系和优化.

（4）反思思想.反思不同解法所涉及的数学思想和数学方法.

7.说总结.说题目的来源、背景和前后知识的联系、价值以及解法的一般化和推广.

三、说题的实例

例设x，y∈R，则（x+y）2+（x-1y-1）2的最小值为（）.

A.14B.12C.22D.2-12

1.说题意

题目已知x，y∈R和式子（x+y）2+x-1y-12，求式子的最小值.式子隐含着条件平方和、二元二次式.

2.说知识

平方和可被看作两点间距离的平方，平方和也可被看作平均数不等式的一部分；二元二次式可看作是把一个元视作已知数，另一个元视作变量的一元二次函数.所以，涉及有两点间的距离公式、平均数不等式、二次函数和用导数求最值的相关知识.

3.说思路

思路一：把原式看作x的二次函数，由于其图像开口向上，所以它的顶点纵坐标即为最小值.思路二：把原式看作点Px，x与Q-y，1y+1的距离的平方，即求PQ2的最小值.思路二（变式）：取点Mx，x+1，点N-y，1y，即求MN2的最小值.思路三、利用平均数不等式求最值.

4.说步骤

思路一：原式=2x2+2y-2y-2x+y2+1y2+2y+1.

∵x∈R，∴原式≥1y2+1+2y-2y-2y-224x2=y2+1y2+2y+2y+32

=y+1y+122≥12.

思路二：把原式看作点Px，x与Q-y，1y+1的距离的平方，点P在直线y=x上，点Q在y=-1x+1上.欲求原式的最小值，即求PQ2的最小值.

如上图：作y=x的平行线与y=-1x+1的右下支相切时，切点到y=x的距离即为PQ的最小值.

思路二（变式）：取点Mx，x+1，点N-y，1y，则原式为MN2，而点M在直线y=x+1上，点N在双曲线y=1x上，由该直线和双曲线都关于y=x对称知：N1，-1到点M的距离最小.用导数的知识求y=-1x+1的切线斜率为1的切点.如图所示：由点到直线的距离公式或四边形ANBO是边长的1的正方形可知MNmin=22， ∴原式≥12.

思路三：原式≥（x+y）2+-（x-1y-1）2≥2·（x+y）+（-x+1y+1）22

=（y+1y+1）22≥12.

5.说变式

（2012全国理12）设点P在曲线y=12ex 上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为（）.

A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2（1+ln2）

此题用数形结合的思想，利用导数求出点P或点Q到直线y=x的最小距离的2倍即可.升华观念：遇有函数、几何等相关的较难题目，首先用数形结合的思想.

6.说反思

（1）反思根据.思路一用了二次函数、三数和的平方及函数y=ax+bx来求最值；对于多元函数，我们求最值的基本思路是减少变量，最好转化成一元二次求最值，所以思路一的根据是二次函数.

由于原式是平方和，由两点间距离公式联想到思路二；它的依据是平方和.

思路三使用了21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22和函数y=ax+bx求最值，由于原式是平方和，又是二元，由平方和想到不等式，由二元想到减少变量，由于消去y有困难，于是想到消去x，不等式中没有两数相减，所以变形为相减，由此想到该思路，它的依据是a+b2≤a2+b22.

（2）反思关键.思路一的关键（一）在于减少变量，化为二次函数；关键（二）在于配方，配成三数和的平方.思路二的关键在于转化为两点间的距离的平方，注意点所在的曲线，另外点取得不恰当，有可能不能正确求解，如取点S（x，-1y），T（y，x+1），则点S，T所在曲线就不能确定.思路三的关键在于把 b变为-b，从而消去x，易错点在于利用这一不等式取等号的条件和多个不等式取最值时的条件.

（3）反思思路.思路一比较容易想到，但计算量较大；思路二较好想，计算量不大，特别是变式解法利用图形的对称性就解决了，但细节较多，思维较灵活；思路三难以想到，计算量较小，对基本功要求高，需要构造不等式的条件，思维层次较高.比较三种思路，把代数式子转化出几何意义是本题最“得意”之解.

（4）反思思想.思路一用的函数与方程的思想，配方法、数形结合法.思路二用的转化与化归的思想和数形结合的思想，导数法、数形结合法.思路三用的转化与化归的思想，配凑法.

7.说总结

题目在函数、导数、不等式的交汇处命题，对学生的综合能力要求较高，体现了数学思维的灵活性和准确性.在高中把“代数式子转化为其几何意义”的有： ①把“商”化为“斜率”.②把“二元一次”化为“纵截距”.③把“二元一次的绝对值”化为点到直线的距离.④把“差的绝对值”化为“数轴上两点间的距离”.

四、说题的体会

1.说题注意两个矛盾：

（1） 课堂说题时间和教学容量的矛盾.“说题”会占用较多的课堂教学时间，出现说题与课堂教学容量之间的矛盾.所以教师应精心设计题目，严格控制题目的数量；点拨、归纳时，要把握实质；总结要力求简洁、有效，要深化思维、以点带面、举一反三.

（2）学生的有效参与和整体提高的矛盾.说题过程所达到的最佳效果，要视全体学生的积极参与，主动思维的状况.然而学生群体间有优中差的差别，个体能力中又有强弱项之分，因而必须坚持因材施教、因人施教的原则.充分调动全体学生说题的主动性、积极性和创造性，激发求知欲.

1.说题过程要循序渐进，内容选择要有广泛性.说题活动大致要经历三个阶段性的发展过程：即教师示范（学生感悟阶段）→ 学生模仿（学生体验阶段）→ 学生正式说题（学生掌握运用阶段）；应坚持的原则是：难度上—— 先易后难，程序上——先课本后课外，知识上——先点后面，数量上——先单一后成批，广度上——先封闭后开放.

2.说题教学是高层次的课堂教学，其实质是“说思维”，是充分体现学生主体性的一种举措，通过说题可以培养学生具备较高的思维能力和良好的思维品质.笔者的教学实践表明，说题活动还有利于提高学生的数学兴趣，有利于提高学生的数学成绩，有利于提高学生的听、说、思、创等综合数学素养.

【参考文献】

＼[1＼]G.波利亚.怎样解题 ＼[M＼].阎育苏译.北京.科学出版社，1982.

＼[2＼]李小树.说题教学的尝试 ＼[J＼].中学数学，1998（3）.