解三角形中的范围问题

2014-04-29 20:46乔晓林
中学课程辅导·教学研究 2014年25期
关键词:解三角形范围不等式

乔晓林

摘要:在近几年的高考中,解三角形经常考查范围问题。 为了使学生能够更好地解决此类问题,本文在正余弦定理、面积公式及三角函数相关知识的基础上,结合具体的例题,归纳了解决此类问题常用的两种方法。

关键词:解三角形;范围;减少变量;三角函数;不等式

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2014)09-0130

一、减少变量,转化为求函数的值域问题

1. 在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c

设向量■=(c-a,b-a),■=(a+b,c)若■∥ ■,

①求角B的大小;②求sinA+sinC的取值范围。

分析:由向量共线可得两边平方和减第三边的平方,可知要用到余弦定理;第二问中A和C有关,一个用另一个表示,减少变量进而求范围。

解析:①∵■∥■, ∴c(c-a)-(b-a)(a+b),

∴c2-ac=b2-a2,∴■=1由余弦定理,得cosB=■,B=■。

②∵A+B+C=π, ∴ A+C=■,

∴sinA+sinC=sinA+sin(■-A)=sinA+sin■cosA-cos■sinA=■sinA+■cosA=■sin(A+■)

∵0

∴■

注意本题考查:①向量共线的坐标表示;②余弦定理、两角差的正弦公式、辅助角公式;③第二问中通过减少变量,转化为关于角A的三角函数求范围。

变式1:在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a(cosB+cosC)=b+c

①证明:A=■; ②若△ABC外接圆的半径为1,求△ABC周长的取值范围。

分析:已知边和角的表达式可以化简为:边化角或角化边;第二问涉及外接圆的半径考虑正弦定理,表示出周长后减少变量求范围。

解析:①∵a(cosB+cosC)=b+c

由余弦定理得:a(■+■)=b+c

整理得:(b+c)(a2-b2-c2)=0又b+c>0

∴a2=b2+c2 即A=■

②由△ABC外接圆的半径为1,A=■可得a=2

∴b+c=2(sinB+cosB)=2■sin(B+■)

∵0

∴2

∴△ABC的周长的取值范围是(4,+2■]

注意本题考查:①正余弦定理、辅助角公式;②第二问中通过减少变量,转化为关于角B的三角函数求范围。

变式2:在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a2=b2+c2+■bc

①求角A的大小;②设a=■,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时的值。

分析:涉及两边平方和减第三边的平方,考虑余弦定理;第二问从要求的出发,考虑用面积公式及两角和差公式化简。

解析:①∵a2+b2+c2+■bc

由余弦定理得cosA=■=■=■

又0

② 由①得sinA=■,结合正弦定理得

S=■bcsinA=■■asinC=3sinBsinC

∴S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C)

所以当B=C 即B=■=■时,S+3cosBcosC的最大值为3。

注意本题考查:①正余弦定理,面积公式;②通过减少变量,利用两角差的余弦公式求最值。

2. 在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,

已知cosC+(cosA-■sinA)cosB=0

①求角B的大小;②若a+c=1,求b的取值范围。

分析:已知三个角的关系,求角,考虑A+B+C=π;第二问中已知三边及一角考虑余弦定理。

解析:①由题意可知-cos(A+B)+cosAcosB-■sinAcosB=0

化简得sinAcosB=■sinAcosB=0

∵sinA≠0∴sinB-■cosB=0

又∵cosB≠0∴tanB=■

∵0

②由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB

∵a+c=1 cosB=■

b2=3(a-■)2+■(0

∴■≤b2<1 即∴■≤b<1

注意本题考查:①两角和的余弦公式,余弦定理;②第二问中将b2转化为a关于的二次函数,易错点是0

变式:在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,(2a+c)cosB+bcosC=0

①求角B的值;②若a+c=4,求△ABC面积S的最大值。

分析:已知边和角的表达式化简方法为:角化边或边化角;第二问中减少变量转化为二次函数的最值问题。

解析:①由正弦定理得,(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,

即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0

得2sinAcosB+sin(B+C)=0,因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,得2sinAcosB+sinA=0因为,sinA≠0所以cosB=-■,又B为三角形的内角,所以B=■

②S=■acsinB,由B=■及a+c=4

得S=■a(4-a)sin■=■(4a-a2)=■[4-(a-2)2],

又0

注意本题考查:①正弦定理,两角和的正弦公式及面积公式;②通过减少变量,转化为给定区间上二次函数求最值。

二、利用不等式求最值

1. 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,已知a=bcosC+csinB

①求角B的大小;②若b=2,求△ABC面积S的最大值。

分析:已知边和角的表达式化简方法:角化边或边化角;第二问中可利用均值不等式求面积的最值。

解析:①∵a=bcosC+csinB

由正弦定理可得:sinA=sinBcosC+sinCsinB

∴sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB即cosBsinC=sinCsinB

∵sinC≠0∴tanB=1即B=■

②由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos■即a2+c2-■ac=4

∵a2+c2≥2ac

∴(2-■)ac≤4即∴ac≤4+2■,当且仅当a=c时等号成立。

又S=■acsin■≤■(4+2■)=■+1

∴△ABC面积的最大值为■+1

注意本题考查:①正余弦定理,两角和的正弦公式,三角形的面积公式;②利用均值不等式求最值。

变式1:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin■+sin■=■

①试判断△ABC的形状;②若△ABC的周长为16,求面积的最大值。

分析:通过减少变量化简已知条件,第二问中已知和求积的最值,考虑不等式。

解析:①∵sin■+sin■=cos■+sin■=■sin(■+■)

∴■+■=■即C=■,所以此三角形为直角三角形。

②∵16=a+b+■≥2■+■,

∴ab≤64(2-■)2当且仅当a=b时取等号,

此时面积的最大值为32(6-4■)。

注意本题考查:辅助角公式,利用不等式求最值。

变式2:设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a、b、c且acosC+■c=b

①求角A的大小;②若a=1,求△ABC的周长l的取值范围。

分析:化简边和角的表达式方法:角化边或者边化角;第二问中可利用不等式或减少变量的方法求解。

解析:①由acosC+■c=b得sinAcosC+■sinC=sinB

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

∴■sinC=cosAsinC,∵sinC≠0,∴cosA=■,

∵0

②法1:周长l=a+b+c=1+b+c

由①及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA∴b2+c2=bc+1

∴(b+c)2=1+3bc≤1+3(■)2 b+c≤2

又b+c>a=1∴l=a+b+c>2

即△ABC的周长的取值范围为(2,3]

法2:由△ABC正弦定理得:b=■=■sinB,c=■sinC

l=a+b+c=1+■(sinB+sinC)=1+■(sinB+sin(A+B))

=1+2(■sinB+■cosB)=1+2sin(B+■)

∵A=■,∴B∈(0,■),∴B+■∈(■,■)

∴sin(B+■)∈(■,1]

故△ABC的周长l的取值范围为(2,3]。

注意本题考查:①正余弦定理,两角和的正弦公式,辅助角公式;②通过不等式,减少变量的方法求范围。

2. 已知设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2+c2=2b2

①若B=■,且A为钝角,求内角A与C的大小;②求sinB的最大值。

分析:化简边和角的表达式方法:角化边或者边化角;第二问中可由余弦定理求得b的表达式,利用不等式求cosB的范围,进而求得sinB的最大值。

解析:①由题设及正弦定理,有sin2A+sin2C=2sin2B=1。故sin2C=cos2A

因为A为钝角,所以sinC=-cosA

由cosA=cos(π-■-C),可得sinC=sin(■-C),得C=■,A=■。

②由余弦定理及条件b2=■(a2+c2),有cosB=■,

因为a2+c2≥2ac,所以cosB≥■。故sinB≤■,

当a=c时,等号成立。从而sinB的最大值为■。

注意本题考查:正余弦定理及利用不等式求最值。

(作者单位:内蒙古包头市一机一中 014000)

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