高等数学概念教学的一些思考

张晓辉

【摘要】高等数学概念教学是一个创造性过程.在教学中要注意：（1）充分利用概念的实际背景；（2）合理借助概念的直观性；（3）注意揭示概念的本质；（4）注重概念体系的建立.教师应根据高等数学概念的特点和学生的认知结构，结合概念的实际背景，采用多种教学方法，培养学生的发现能力以及创造精神，促使学生主动建构概念体系.

【关键词】数学概念；教学；思考

一、高等数学概念的特点

数学概念是抽象思维的产物，它具有辩证性、客观性、合理性等特点.对刚入学的大学生来说，高等数学与初等数学的主要区别在于，出现在他们面前的是全新的概念与方法.高等数学的概念基本上都是以运动的面貌出现的，是动态的产物.正如恩格斯所描述的： “运动进入了数学，辩证法进入了数学. ”了解高等数学概念的特点为我们引导学生进入高等数学的思维模式，并为其中部分学生日后学习应用数学做好准备是有指导意义的.因而，我们在教学中要研究高等数学概念的认识过程的特点和规律性，根据学生的认识能力发展的规律来选择适当的教学形式.

二、 概念教学中要注意的几个问题

（一）充分利用概念的实际背景

高等数学中很多概念都有着良好的物理背景或几何背景，教学中应该充分利用这些资源，引导和启发学生进行概念的发现和创造.例如，进行导数概念的教学时，我们首先引导学生在已知变速直线运动的运动方程情况下，设法求出某一时刻的瞬时速度.在此，首先引导学生取一较小的时间段，求出在一个较小时间段内的平均速度，用平均速度作为瞬时速度的近似值，然后分析当时间段越变越小会有什么样的效果，使学生自己意识到通过对平均速度取极限可以得到瞬时速度.同理，我们引导学生求出平面曲线切线的斜率.结果，两个不同的问题得出了相同的数学模式，至此，再抽象给出导数定义便水到渠成了.如果我们成功地引导学生得到导数的概念，对他们学习定积分、重积分、曲线积分与曲面积分的概念都是一个很好的启迪.

（二）合理借助概念的直观性

尽管抽象性是数学概念的突出特点，但是直观性在高等数学的教学中也占有重要地位.教师应重视数学直观力的培养与训练.直观有助于概念的引入、形成.例如：极限的严格定义的给出，便是借助了几何直观性.一个新的数学概念的学习，仅停留于对有关定义的机械记忆上显然是不够的.由于数学概念是抽象思维的产物，因此，对于概念的认识是以在思想中建构出其模式为前提的.例如高等数学中的散度概念，由于其引入并不是很直观，学生常常只是记住了公式，对于散度究竟意味着什么，不甚清楚.如果我们让学生了解在电场中，电位移向量的散度表示在一个点处是否存在电荷、电荷的正负以及电量的大小，与通量相比较，通量反映的是全局性态，散度则表示一点处的性态.好比在一个公司里，通量相当于整个公司的经营结果，而散度相当于每个员工的工作结果. 这样，散度概念在学生那里就变得很清晰、明白.

（三）注意揭示概念的本质

由上所述我们看到，借助于直观，有助于高等数学概念的引入，也能促进概念由抽象到具体的转化.然而，就正确的认识而言，更为重要的是透过概念的形式表述揭示出其内在的本质，从而使其成为非常透明的东西.例如就导数概念而言，我们在教学中必须适时引导学生跳出狭义的圈子，使学生认识到，导数与真实现象间有着一般和特殊的关系，它作为抽象思维的产物具有更为普遍的意义，它所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同特征.除瞬时速度、电流、线密度外，它还可以表示瞬时加速度、角速度、切线斜率等，而它的本质是变化率.

（四）注重概念体系的建立

数学中的概念往往不是孤立的，理清概念间的联系，既能促进新概念的自然进入，也有助于整个概念体系的建立.多元函数微分学中有一组概念，即极限、连续、偏导数、全微分、方向导数，对它们之间的联系以及它们与一元函数微分学中的极限、连续、导数、微分概念之间的异同的分析比较是我们在教学中要予以重视的.积分学中的定积分、重积分、二类曲线积分、二类曲面积分的概念之间的关系、异同也是在教学中应该加以注意的.建立概念间的联系、异同有多种方法，类比法是常用的方法之一.依靠类比与联想，可以从二维空间进入三维空间直至更高维空间，从有形进入无形，从现实世界进入虚拟世界.

三、 概念教学要体现出创造性活动

数学概念的教学就应该是一个动态过程，是一种创造性活动.教师应该在以学生为主体，以启发式为原则，以简易性为目标的前提下以多种不同的方式从事高等数学概念的教学活动，通过介绍概念建立的有关史实赋予概念以诱人的魅力，通过展示概念的应用赋予概念以鲜活的生命力，通过揭示概念的哲学内涵赋予概念以深刻的理性精神.教师自己要有一种批判精神，不要总是死抠教材.事实上，教材中确有一些概念存在着在叙述上不够简便、不够明确等现象，容易使学生产生困惑.教师要敢于做出一些积极的改变. 在教学中，教师的创造性和个性化精神，必然会影响学生的创造性与个性化的发展.教师在数学教学中所做的一切，其目的在于既教会学生有用的知识，又教会学生有益的思考方式及有益的思维习惯.

【参考文献】

[1]吕林海.数学抽象的思辨[J].数学教育学报，2005（8）.

[2]李善良.数学概念学习研究综述[J].数学教育学报，2010（10）.

[3]侯风波.高等数学[M].北京：高等教育出版社.