掌握解题方法，深入学习数列求和方式

王志华

摘 要：高中数学数列求和方法很多，本文列举出了其中的比较常用，也比较关键的四种：裂项相消法、并项求和法、错位相减法、倒叙相加法. 在高中数学教学过程中，数学教师也应该注重对学生的点拨，展开“以学生为本”的教学方式，提高学生课堂的参与度，并自己总结经验和教训，不断地提高学生本身的解题效率.

关键词：数列求和；高中数学；解题方法

数列求和是高中的重点内容，也是难点内容，很多学生对数列求和的内容感到困惑，甚至将它当做最头疼的难题.其实，高中数学的数列求和并没有那么复杂，在通过分层次练习，总结经验，然后找出规律，并应用于实践，通过反复的练习—总结—再练习的过程，就能总结出属于自己的数列求和学习方法，也能找到属于自己的数列求和方式. 下面对四种数列求和方法的应用展开实例分析.

裂项相消法，找出通式规律

裂项相消法是高中比较常见的数学解题方法，在对待数的问题上，如果能采用裂项相消法，就会发现这就是题目的关键，也就是题目的突破口，从而题目的解答过程就会变得比较容易. 裂项相消在小学奥数题目中也有所涉及，在高中数学的数列求和中，将小学和初中数学相关问题进行了深化和综合应用，所以，高中数学是对以前数学学习基础的总结和归纳，找出了每个步骤和阶段的循序渐进过程，将这些步骤条理进行梳理，就是高中数学数列求和的方法了.

理论分析：裂项的核心是将数列的通式裂成两项，观察出规律，从而在求和时进行相互抵消，比如适合于通项类似于 （an是各项不为0的等差数列，C为常数.）的数列. 运用裂项求和时，通用的公式为：

（1） = - ；

（2） = - ；

（3） = - ；

（4） = （ - ）.

例1 已知有数列{an}满足a1=1，a2= ，an+2= an+1- an（n∈N*），求：

Tn= + + +…+ .

解：分析题目，首先根据an数列的已知关系，分析出其内在隐含的条件，然后根据求和的各项的通式，找出求和的各项之间的关系，从而进行转化，将其转变为可以裂项相消的模式. 具体分析如下：

由已知条件，得an+2-an+1= （an+1-an），所以{an+1-an}是以a2-a1= 为首项， 为公比的等比数列，故an+1-an= .

所以an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+ + +…+ =21- .

所以 = = · - ，

Tn= + + +…+

= - +…+ - = 2- .

实例总结：该题的解题思路和过程比较复杂，涉及的知识点也比较多. 在学生进行解题的过程中，或许会感觉到无从下笔，并且百思不得其解.解题关键是找出题目的题眼，由题目给出的条件，找出其变式，获得突破口.

并项求和法，利用求和解题

高中数学是思维引导性质的教学，是以提升学生能力，并且促进学生能够获得更多的学习方法和学习经验为目的的教学. 高中数学每个学习方法和学习经验的总结，都需要加强练习，反复地进行思考和探索，找出题目的相同点和不同点，对于学生的学习盲区，进行规范性的引导，坚持高中数学教学过程中以学生为本，激发学生的创造力和实践能力，培养更多的思维性强并且有独特想法的现代化人才.

理论分析：并项求和法与分组求和法有相似之处，它的规律也比较明显，针对并项求和的相关题目，一般都具有显而易见的规律让我们分析，采用先试探、后求和的方法来进行.首先根据题目给出的一些已知条件与要求和的式子，找出数字之间的规律，并进行分析，将其转换为比较好理解的形式或者是比较容易对比的模式，再进行分组求和，最后将所有和都列举出来，求其总和. 比如，类似于1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n式子的求和，它就有三种解法：并项求和方式，先分别求出奇数项和与偶数项和，再将两个和相减；分组法，将其相邻的两个数字分成一组，然后计算出每组的和，发现每组和的规律，最后进行总体求和，也就是（1-2）+（3-4）+（5-6）+…+[（2n-1）-2n]；构造法，构造出新数列，将题目构造成我们常见的等差数列或者是等比数列，从而进行相关的运算，也就是an=（-1）n（n+1）（n从0开始）.

例2 数列{an}的前n项和是Sn（n∈N*），若数列{an}的各项按如下规则排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，若存在自然数k（k∈N*），使Sk<10，Sk+1≥10，则ak=________.

解：

S1= ，S3= + = ，S6= + =3，S10=3+ =5，

S15=5+ = ，而 =3，这样S21= >10，而

S20= + = + < + =10，故ak= ，所以答案为 .

例题总结：本例对于一般学生来说，并没有复杂性，只是将相关的并项求和方法作为介绍. 在高中数列求和的过程中，找规律一直都是解题的第一步，不管是已知条件的规律，还是要求和题目的规律，都需要学生去挖掘和探讨. 找到规律之后，根据规律顺藤摸瓜，然后继续探索题目的奥秘. 规律是引导我们向着我们熟悉或者是学过的方向走，简化解题方法和步骤，从而正确解决题目.

错位相减法，简化求和思路

错位相减法是高中等比数列求和公式在证明过程中给出的一种方法，对于错位相减法，学生应该熟练掌握，并学会融会贯通，在应对类似于等比和等差组合起来的数列求和的问题时，错位相减法具有比较实用的意义. 高中数学教学过程中，教师应该注重对课本知识精华的提炼，让学生对其进行总结和吸收，抓住核心，进行思维扩展和延伸，从而获得不一样的知识体验.

理论分析：转换一种角度，转换一种模式，就会转换出一种思路，转换出一种思想. 在高中数学中，等比数列和等差数列是基本的数列，然后由这些基本数列，又可以转换不同的方式组合成其他比较复杂的数列形式. 错位相减法，一般需要将题目中给出的数列，进行转换，得出由等比和等差共同组成的数列形式，然后设这个和为S，由S乘以等比数列的倍数，得出qS的值，然后由前一个S减去后面的qS，得出一个完全的等比数列以及其他剩余项的和，最后除以S系数，就可以得出最后的结果了.

例3 已知数列{an}是首项为a1= ，公比为q= 的等比数列，设bn+2=3log an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn.

解：根据题意，an= n（n∈N*），又bn=3log an-2，所以bn=3n-2（n∈N*）. 所以cn=（3n-2）× n（n∈N*），

所以Sn=1× +4× 2+7× 3+…+（3n-5）× n-1+（3n-2）× n，

从而 Sn=1× 2+4× 3+7× 4+…+（3n-5）× n+（3n-2）× n+1，

两式相减，得出：

Sn= +3 + +…+ -（3n-2）× n+1= -（3n+2）× n+1，所以Sn= - × n.

例题总结：根据该题的分析，可以看出，运用错位相减法解题，是要构造出等比数列与等差数列的组合形式，比如An=BnCn，然后设立出函数S=B1C1+B2C2+B3C3+…+BnCn，得出等比数列的公比q，然后得出qS的表达式，由S-qS，计算出S的最终计算结果. 本题比较鲜明地给出了类似题型的错位相减的计算方法，这也是作为一个类型，可以当做知识储备，以便今后在实际应用中加以利用和分析，得出计算结果.

倒序相加法，探寻题目题眼

倒序相加法来源于课本，在推到等比数列公式的时候，得出的一种计算方法. 它是高中数学求和计算方法中比较常见，也比较重要的一种方法，在高考题型中，一般作为压轴题的解题关键出现，所以学好倒序相加法，是非常关键，也是非常重要的.

理论分析：倒序相加法，顾名思义，就是将需要求和的表达式倒过来，然后每项对比相加. 前提是首先观察题目，可以发现首项和尾项相加可以得到一个常数或者比较简单的计算式，这样运用倒序相加法才有意义.

例4 请证明：C +3C +5C +…+（2n+1）C =（n+1）2n.

解：由C =C 可用倒序相加法求和

令Sn=C +3C +5C +…+（2n+1）C （1），

则Sn=（2n+1）C +（2n-1）C +…+5C +3C +C （2）. 因为C =C ，

所以（1）+（2）有：2Sn=（2n+2）C +（2n+2）C +（2n+2）C +…+（2n+2）C ，

所以Sn=（n+1）[C +C +C +…+C ]=（n+1）·2n，等式成立.

例题总结：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）；

Sn=a1+a2+a3+…+an；

Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+…+a1；

上下相加得到2Sn，即Sn= .

倒序相加法追求的是数列中第一项和最后一项，然后慢慢向其中靠近的数学规律，它是比较基本的一种数列求和方法，也是高中数学学习中必须掌握的一种解题方法.

上文提到的数列求和方法有裂相相消、并项求和、错位相减、倒序相加这四种. 这四种方法在解答高中数学中数列相关问题时具有普遍性和实用性，数列求和中，还有直接求和、公式求和、分组求和、归纳猜想、奇偶法等等. 数列求和时注意方法的选取，关键是看数列的通项公式；求和过程中注意分类讨论思想、转化思想的运用. 在高中数学学习的过程中，需要熟练掌握这些解题方法，并多多练习，从而构建自己的知识体系结构和解题方法架构，从而使得自己能在高考中得心应手.

总之，数列求和相关数学知识的学习是需要时间和经验累积的，在长期的训练过程中，才能不断地发现问题的突破口，从而找出对应的解题方法. 数列问题蕴涵着非常丰富的数学思想，并且也是考核学生思维的关键问题. 从本文可以看出，数列求和问题一般与不等式的证明相结合，并且数列求和的一般思路，是将数列转换为我们比较熟悉的等差数列、等比数列，或者是等差与等比结合的数列，而转化的过程，就是数列求和过程的关键. 在高中数学数列求和相关知识的教学中，教师可以结合比较经典的例题，运用专题教学的方式，集中讲解数列求和规律，从而让学生对数列求和相关解题方法轻车熟路，成为高考的胜利者.