增强数学课堂实效性的教学策略

赵绪昌

摘 要：怎样充分发挥教师的主导作用，让作为主体的学生用最少的付出，获得最大收获并拥有积极的情感体验，让小课堂成为学生获得更多知识的大舞台，让学生掌握知识的同时数学思维能力得到发展. 增强数学课堂实效性的教学基点是学习材料本质抓准，要点是学习主体经验唤醒，重点是情境创设简洁高效，亮点是教师引导及时适时.

关键词：数学教学；实效课堂；教学策略；案例分析

课程改革以来，我们的课堂无论是在课程理念、课程目标和课程内容，还是教学方式和学习方式都发生了深刻的变化.怎样充分发挥教师的主导作用，让作为主体的学生用最少的付出，获得最大收获并拥有积极的情感体验，让小课堂成为学生获得更多知识的大舞台，让学生掌握知识的同时数学思维能力得到发展，缔造实效性课堂，这是许多同行都在苦苦思考和探索的问题. 下面就“增强数学课堂实效性的教学策略”举例说明.

■增强数学课堂实效性的教学基点是学习材料本质抓准

数学学习是以具体的学习素材为载体的数学思维活动过程. 如果学习材料偏离了教学内容的本质，会导致思维肤浅片面，甚至产生错误的认识.

案例1？摇 “集合”概念的教学片断

教师：上课！

学生：（起立）老师好！

师：全班请坐.（等学生坐好后又说）上课！

学生：（面带疑惑地站起来）老师好！

教师：男生坐下，（稍做停顿）女生坐下.

教师：（等学生坐好后又说）上课！

学生：（议论纷纷地站起来看着老师）

教师：高个子坐下.

学生：（坐下了几个，还有几个坐下了，想想又站起来，不知该坐还是该站.看到他们的样子，其余学生纷纷笑了起来.）

教师：（问那几个不知该坐该站的学生）为什么坐下后又站起来？

学生1：老师没给出多高算高个子.

学生2：我不确定自己算不算高个子.

教师：为什么前面你就坐下了呢？

学生1：因为我是高一（x）班的学生，我也是男生.

教师：很好，像我们班全体同学就构成一个集合，所有男生，所有女生也分别构成了一个集合. 同学们想一想，在初中数学中，我们接触过哪些点或数的集合？

学生3：数的分类中，“正数的集合”、“负数的集合”.

学生4：圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

学生5：角平分线是到角的两边的距离相等的所有点的集合.

教师：可见“集合”一词在初中数学已被广泛使用，谁能再举个例子？

学生6：（学生很活跃）图书馆里所有的书. （学生纷纷赞许）

学生7：（调皮地喊）我们班的漂亮女生.

学生：（哈哈大笑，都在喊）不是集合.

教师：（也笑）为什么不是？

学生8：因为“漂亮女生”没有判定标准，它的对象不确定.（学生纷纷点头）

教师：那谁能给集合一个准确的定义呢？

学生9：具有共同的特征的数、式、点、形、物等放在一起构成集合.

教师：还能精炼一些吗？

学生10：有共同特征的事物集在一起形成集合.

教师：很好，某些指定对象的全体构成集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.

教学随想：概念形成的过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程. 案例中给出了全班、男生、女生、高个子以及后面的数集、点集等各种刺激模式让学生辨别分化，引导学生将集合概括为“有共同特征的事物放在一起形成集合”. 在宽松、愉悦的环境下，在教师的指导下，老师通过短短的三次起立、坐下，突破了本节课的难点——对集合元素的确定性的理解，突出了概念的本质属性. 这个过程是使新概念与已有认知结构中比较稳定的相关观念建立起实质性联系的过程.这样紧扣数学本质地设计、选择、使用学习材料，不仅提高了学生的质疑能力，也提高了学生的自主学习能力.

■增强数学课堂实效性的教学要点是学习主体经验唤醒

《数学课程标准（2011年版）》明确指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础上. 学生是学习的主体，没有学生的积极参与，课堂教学就不能取得良好的效果.

案例2？摇？摇“抛物线及其标准方程”中概念的教学片断

老教材在椭圆与双曲线中要学习第二定义，我们知道：按第二定义，当01时，轨迹是双曲线；那么e=1时，轨迹又是什么呢？所以抛物线概念的引出不必花太多工夫，可以开门见山地直奔主题.但是新教材删除了第二定义，所以引出抛物线的概念就变得相当困难，有的教师把握不准《课程标准》和《学科指导意见》，就或多或少地增加了第二定义的内容，抛物线的教学仍然与老教材的教法一样；有的教师为了能够上好抛物线，也增加了第二定义的教学. 这种做法“方便”了教学，却加重了学生的负担. 那么到底应该怎样进行教学呢？因为学生已经具备椭圆、双曲线和初中层面抛物线的知识，我们应从学生已有的知识经验诱导出新概念.

教师问1：若点P（x，y）满足■+■=6，则P点的轨迹是__________.

学生1：利用平方化简，但没有做出来.

教师：该同学平方化简，肯定可以得到答案，只是还需要一些时间，相信他一定能成功！

学生2：上面式子表示两点距离之和，根据椭圆定义可知，P点的轨迹是椭圆.

学生众：是的.

教师问2：若点P（x，y）满足■-■=6，则P点的轨迹是__________.

学生众：双曲线.

教师：是双曲线吗？

学生3：应该是双曲线的上半支.

（由于问1的解决对问2有着提示和启发作用，所以问2几乎所有学生都不再化简了，自然地联想到利用定义的解法，于是教师顺势抛出问3.）

教师问3：若点P（x，y）满足■-y+2=0，则P点的轨迹是__________.

学生众：从条件的含义看，似乎不是椭圆，也不像双曲线，不太清楚.

教师：到底轨迹是什么，学生1解问1的方法会给我们很好的启示.

学生：因为它的方程是y=■，它是我们初中已经学过的抛物线.

教师：若把条件中的“2”改为其他数字（非零），结果如何？

学生众：轨迹仍然是抛物线，只是方程中的数字不同而已.

教师：那么条件所表示的几何意义又是什么呢？

学生4：原方程即■=y+2，左端表示点P（x，y）到点（0，2）的距离，右端肯定不是两点的距离，但它是点P（x，y）到直线y=-2的距离，等式表示两个距离相等.

教师：从问3的分析中我们可以看出，满足这种条件的轨迹都是抛物线. 于是我们抛弃这些具体的位置和数据外壳，得出抛物线的定义. 请哪位同学根据上面的等式，说出抛物线的定义.

学生5：到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.

学生6：不太准确，应该添上“平面内”三字.

教师：完整的定义请同学们看课本. 我们再用动画来演示一下这个定义下的轨迹.

教学随想：案例中，教师根据教学中的疑难点，从学生已经具备椭圆、双曲线和初中层面抛物线的知识，由易到难、环环相扣，设计3个问题，顺着学生的思路，循序渐进地引导，认真加以剖析，让学生在问题解决的过程中对比发现，逆推出抛物线的定义，再结合多媒体动画的演示，给学生留下了深刻的印象. 这样不仅复习了旧知识，而且把“抛物线及其标准方程”中概念的学习组织成学生再创造的过程，从而使学生一步一步地完善自己的认知结构.整个过程教师自始至终“带着学生走向知识”——授人以渔，充分体现了学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者的理念.

■增强数学课堂实效性的教学亮点是教师引导及时适时

1. 疏导与引领

数学教学过程中会出现各种各样的信息，教师应充分发挥主导作用. 当学生在认知过程中出现思维障碍，教师应及时给予疏导、点拨，引导学生把想说的话说出来；当学生在认知过程中想法、观点偏离教学目标时，教师要在保护学生参与交流积极性的前提下，巧妙地把学生的交流方向引导到本节课的学习内容上来；当学生交流中形成了不同的观点时，教师要引导学生进行梳理、辨析、讨论，甚至可以想办法引发学生的争论；当学生交流的信息或观点渐趋一致时，教师要引导学生把交流过程中得到的成果提升到一般规律的层面，还可以引导学生总结探究问题的方法，不断提升学生的学习能力.

案例4 已知a，b，c，d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=9，求证ac+bd≤3.

待学生独立尝试后，通过互动交流生成了较为丰富的成果：学生们先后给出了课本介绍的证明本题的三种证法：分析法、比较法和综合法，还有不少学生尝试运用了其他方法. 对此，教师首先让部分学生展示了综合法：

因为ac≤■（a2+c2），①

bd≤■（b2+d2），②

所以，ac+bd≤■（a2+c2）+■（b2+d2）=■=5.

问题到底出在哪儿？正当学生疑惑不解时，教师不失时机地引导：①式等号成立的条件是什么？②式呢？这时，学生们恍然大悟：若a=c且b=d，就有a2+b2=c2+d2，这显然与已知矛盾！①②两式等号不能同时成立，所以ac+bd不能取到最大值5.

进而，教师又因势利导：是否还有其他证法？刚才有些同学还联想到了我们学过的向量、三角函数等知识？很好！同学们再试试看！这下学生们的热情更高涨了，经过一番热烈的交流、讨论，他们的思想产生了“碰撞”，大脑形成了“共鸣”.

实际上，结合本题的题设和结论，不难联想到向量的模和向量乘积的坐标形式，故可设x=（a，b），y=（c，d），则x=■=1，y=■=3，x·y=ac+bd.

又x·y≤xy，故ac+bd≤3.

再者，由a2+b2=1，c2+d2=9，可把点（a，b）、（c，d）分别看做是两个圆上的动点，故可设a=cosα，b=sinα，c=3cosβ，d=3sinβ，则ac+bd=3cosαcosβ+3sinαsinβ=3cos（α-β），而cos（α-β）≤1，故ac+bd≤3.

教学随想？摇？摇学贵有思，教重在引.案例中，正当学生疑惑不解，教师不失时机地引导：①式等号成立的条件是什么？②式呢？当学生恍然大悟后，教师又因势利导：是否还有其他证法？学生们热情高涨，经过师生、生生之间的交流与互动，加深了对基本不等式适用条件（“一正”、“二定”、“三相等”）的理解，加强了知识间的联系，拓宽了解题思路，培养了学生灵活运用所学知识解决问题的能力. 如果没有教师的适时引导，取而代之的是直接回应，其效果会大打折扣. 这种无痕的引导，充分彰显了上课教师的教学机智.

2. 追问或补问

在学生交流过程中，根据教学的目标与交流的实际，往往需要教师适时地追问或补问. 合理地追问或补问，是提高数学交流有效性的重要手段，是增强数学教学实效性的有力措施.

案例5 求过直线l1：2x-y+2=0和l2：3x+2y-2=0的交点，且过坐标原点的直线方程.

（大部分学生的解法是利用两直线方程联立方程组，求出交点坐标-■，■，再利用直线方程的两点式求得直线方程是5x+y=0.但解答过程中，发现有学生将已知的两直线方程相加，也得到要求的直线方程.）

教师（追问）：这样做对吗？是巧合还是必然？

学生1：是偶然的！两方程相加后常数项正好为零，直线恰好过原点. 若把直线l■的方程改为2x-y+1=0，两式相加就不会有上面的情形发生了.

学生2：是偶然的！两个方程相加，怎么知道就过原来两直线的交点呢？

学生3：两个方程相加得到的方程，必然过原来两直线的交点. 因为两直线的交点坐标一定适合相加后的方程. 但是，相加后常数项为零，正好表示直线经过原点好像是偶然的.

学生4：刚才学生1说将方程改为2x-y+1=0，我看还是可以解决的. 我们可以改变系数，使方程变成4x-2y+2=0，再相加就对了.

学生1：那么再把过原点改为点（1，1），这个方法就完全失效了.

教师（追问）：难道真的就完全失效了吗？

学生5：把过点（1，1）转化成过原点，把两直线的方程改为：l1：2（x-1）-（y-1）+3=0和l2：3（x-1）+2（y-1）+3=0，再相加就对了.

教师（追问）：到底是偶然的结果，还是必然的结果？

学生：有偶然也有必然！

教师：对！两条直线的方程相加的意义是表示一条新的直线，这条直线经过原来两直线的交点，这是必然的因素！

设两直线方程为l1：a1x+b1y+c1=0和l2：a2x+b2y+c2=0，l1，l2相交于点P，那么a1x+b1y+c1+λ（a2x+b2y+c2）=0（λ∈R）表示一条经过点P的直线（除l2外），即a1x+b1y+c1+λ（a2x+b2y+c2）=0（λ∈R）表示经过直线l1，l2交点的直线系.

教师：通过研讨，我们不断把结论加以深入和一般化，这也是我们学习数学的一种重要方法. 同时，我们更要善于观察思考，不断提出问题、深化问题，这样就能从中获得许多课本中没有的知识.

教学随想？摇 古人云：“学贵有疑”，“学起于思，思源于疑”，只有让学生在质疑、探索、释疑中真正明白自己所困惑的问题，才能使理解和记忆更加深刻，才能把要学习的知识和能力内化为个人的发展，同时学生在自我发现、解决问题的过程中获得“实现自我”的快乐.案例中教师面对学生的困惑，实施追问——“这样做对吗，是巧合还是必然”“难道真的就完全失效了吗”“到底是偶然的结果，还是必然的结果”等，巧妙地引发学生思考，充分暴露学生的思维历程，展现自己的思维方法，让学生自己体验、反思，消除困惑，形成解决问题的策略. 如果没有教师的适时追问，取而代之的是直接回应，其效果会大打折扣. 其实，追问不仅是了解学情、指导学法的重要途径，也是改进教法、实现教学相长的良策. 我们何乐而不为呢？

总之，作为数学文化的传承者、学生数学素养的培育者，教师的综合素养的不同，将决定着课堂的实效与否. 相信你和我，都希望自己的课堂是实效的、高效的，林清玄告诉我们：“改变表相最好的方法，不是在表相下工夫，一定要从内里改革.” 当我们的教学理念、知识储备、文化底蕴……有底气时，我们的举手投足就会有不一样的从容与自信，我们的课堂才会是一个实效性的课堂.