数学模型方法在数学解题教学中的应用

蔡宝华

摘 要：数学模型方法是一种重要的数学方法，阐述了灵活应用函数模型、不等式模型、几何模型等模型的解题方法，以及数学模型方法教学的基本原则。

关键词：数学模型；模型方法；解题；教学

一、数学模型的概念及分类

根据波利亚对数学模型的描述，中学数学中的一切公式、定理、法则、图象、函数以及相应的运算系统都可以作为数学模型。根据数学本身的特点，数学模型可以分为概念型模型、方法型模型和结构模型三大类，而根据中学数学教材的内容，中学数学模型应包括函数模型、不等式模型、复数模型、排列组合模型、概率统计模型以及平面几何中的平面，解析几何中的平面，立体图形模型，距离模型，线性模型等。

二、数学模型方法的含义及基本步骤

1.数学模型方法的含义

数学模型方法（Mathematical Modeling Method）是利用数学模型解决问题的一般数学方法，简称MM方法。它是处理各种数学理论问题、解决各种实际问题的不可或缺的方法，無疑，数学教师在日常教学中都应当注意让学生了解并掌握这种方法，最大可能地培养其构造数学模型的能力。这绝对不是一个轻松的过程。首先，学生必须先掌握一定的数学知识，让他们学“杂”一些，使得建立模型解题才有了可能性。其次，要让学生多接触题目，多动脑。

2.数学模型方法的基本步骤

在中学数学教学中，数学模型方法已成为一种非常重要的思想方法，它在解题中的基本步骤表示如下：

将所要解决的问题转化为比较简单的比较常见的问题，或已经解决了的问题，然后再通过后者的解来解决原来的问题，这便是人们在数学研究中经常采用的一种方法——关系影射反映方法。模型解答题，按照上图中的三个步骤来完成。在构造模型时，要仔细分析问题中的条件，找出可以用来构造模型的因素，挖掘各种因素、各个事物的联系，最后，利用恰当的数学工具达到最终目的。

三、应用模型解题

1.应用不等式模型解题

用“>”或“<”号表示大小关系的式子，叫做不等式。不等式是研究不等关系的数学工具，它与等式和方程是研究相等关系的数学工具的性质是一样的。问题的研究经常要分析其中的不等关系，列出不等式，并用不等式求出某些数量的取值范围。

历年高考试题几乎都会涉及最值问题，而这些问题的绝大多数都可以转化为不等式问题。这就要求学生应当熟悉几种常见的求最值问题的不等式模型，提高解题速度，从而更好地把握考试时间。

2.应用几何模型解题

有些实际应用问题，可以通过分析、联想，建立恰当的几何模型，将问题转化为空间图形的位置关系，数量关系或者转化为曲线问题来加以解决。

3.应用概率模型解题

概率是随机事件出现可能性的量度，在初中数学中加大概率的内容已成为共识。现实生活中的部分现象极好地体现了概率知识的广泛应用，这里主要探讨概率模型在一般数学题目中的应用。

四、数学模型方法教学的基本原则

建立数学模型解决原型的过程确实不易。教师在数学模型方法的教学中就必须遵循一些原则，概括起来有以下三点：

1.循序渐进教学原则

也称为分层次教学原则。该原则的出发点为学生认知水平的层次性。模型方法的教学应该重点体现在知识的应用期。引导他们掌握数学模型方法的基本步骤，要求他们会建立相应的数学模型。反过来，模型的建立、求解又进一步巩固所学知识。

2.引导启发教学原则

该原则就是要让学生自己领会模型方法，掌握不同的模型。在课堂上多创造一些生活的情境，多给学生动手实践的机会。教师将目标落实到具体的课堂教学中，与教学结构的各环节相匹配。

3.融会贯通教学原则

解数学题目时，要尝试用另外一种方法去检验结果。模型方法的教学更是如此。或许建立某种模型可以解决这个问题，但是应用其他模型却有可能使得问题的呈现更加明了。一题多模不但能够使题目获得最为简明的解答方式，而且能够让学生从多个角度观察事物，进而提高学生的思维活动能力，培养其创新精神。

参考文献：

[1]顾泠沅，朱成杰.数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004.

[2]孙宏安.数学模型法的三个来源[J].大连教育学院学报，1997（1）.

[3]高连成.解决最值问题的6个不等式模型[J].第二课堂：高中版，2007（4）.

[4]刘美香.构造多种模型证明一道竞赛题[J].上海中学数学，2008（12）.

|编辑 杨兆东