小议初中数学反思性教学

卢文方

摘要：数学反思性教学不仅能使教师成长为研究型的教育者，而且可以帮助学生加深对数学的理解，为他们提供发现的机会，这必将提高他们数学学习的兴趣，使數学成为大众的数学，这也是我们每一位数学工作者义不容辞的责任。

关键词：初中数学;反思性教学;教师

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1992-7711（2014）11-0080

在数学教学过程中，反思性教学具有重要的地位和作用。反思性教学的一个重要特征是“两个‘学会加速师生共同发展”，在反思性教学中，教学的主体——教师和学生都可以成为反思的实践者。新课程非常强调教师的教学反思能力，美国著名的学者波斯纳提出教师的成长公式是：教师成长=教学过程+反思;我国著名的心理学家林崇德也提出“优秀教师=教学过程+反思”的公式。正如肖川博士所说：“一个有事业心和使命感的教师，理当作为教育的探索者，其探索的最佳门径就是从自我反思开始。”

因此，数学教师要养成反思的习惯，反思对教材的认识、理解、教学目标的确立、课堂教学的实施等，从多方面多角度引导学生进行反思，使学生学有所思，学有所乐，人人学有用的数学。故笔者结合自己平时的教学实践从数学教学内容、数学课堂活动和作业附记三方面来谈谈自己对反思性教学的一些认识。

一、数学内容的反思

1. 揭示数学本质，对概念进行反思

建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，在“平衡——不平衡——新平衡”中不断得到丰富和发展，通过个体反思、同学间讨论交流，使自身的认知结构得以完善。

例1. 学了实数、无理数概念（无限不循环的小数）后，可让学生反思。

（1）是无理数吗？呢？是分数吗？（让学生搞清实数的分类）

（2）我们学过的哪些数是无理数？来源于几方面？（使学生能了解无理数来源于①含π的式子  ②开不尽方的式子：如，3……  ③特殊的数：如2.1010010001……（两个1之间依次多1个零）三方面）

（3）无理数能用数轴上的点表示吗？如如何表示？

（4）数轴上的点与实数有什么关系？

（5）已知a、b、c对应点在数轴上为：

化简

这样使学生能加深无理数、实数概念的理解，并使他们在数的分类中懂得先找无理数比较方便，准确，以减少解题的失误，还能通过数形结合加深对实数与数轴上点的对应关系和对一个实数几何意义的理解。

2. 精加工：对公式、定理的反思

反思性数学学习可以说是针对操作性数学学习的，操作性数学学习以学会知识为目的，反思性数学学习以学会学习为目的，这两种学习形成强烈对照，对于公式、定理的教学更是如此，前者认为学生只要记住公式、定理，然后去套用就可以了，而后者认为需要对公式、定理进行精加工，经过多次地反复思考，深入研究，主动建构，才能真正学会。

例2. 在学习了韦达定理

即 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则       x1+x2=- x1x2=提出对公式的条件和变式等方面进行反思。

反思1 利用韦达定理的条件（a≠0，△≥0）

反思2 若已知两数和与两数积，能否构造以这两数为根的一元二次方程。（y2-（x1+x2）y+x1x2=0）

反思3  已知ab≠1且a、b满足5a2+2006a+8=0，8b2+2006b+5=0，求的值。

根据两方程中系数特点，能否将两方程合成一个方程利用韦达定理来解？

3. 突出数学思维方法：对例题、习题的反思

平时我们总是这样的埋怨：“这道题刚刚讲过，学生又做的一塌糊涂。”而学生也常拍着脑袋喊“冤”：“这道题我已经做了好几次了，怎么一下子又没做出来。”出现这种现象的原因在于：我们只注重解题的数量，而忽视解题的质量，即轻视解题的过程以及解题后的反思例题、习题是数学知识的应用和对数学知识掌握程度的检测，教师如果能很好的引导学生对例题、习题进行反思可加深学生对数学知识的理解，更有利于学生对数学知识的灵活运用，能做到举一反三。

例3. 如图，有一座抛物线拱桥，在正常水位时，水面AB的宽是20cm，如果水位上升3cm时，水面CD的宽为10cm，建立合适的直角坐标系，求此抛物线的解析式。

这道题的一般解法就是建立平面直角坐标系，而随着建立坐标系的不同，所得的函数解析式和计算量也不尽相同。这里应引导学生通过比较反思建立如图所示的坐标系更为简便。

二、数学课堂教学过程的反思

1. 对教材中知识的形成进行反思

数学课堂教学过程包括教师、学生、教材三个要素，它们之间相互联系、相互影响、相互制约.反思数学课堂教学过程，就是要深究教学过程中诸因素之间的相互关系、相互作用的过程中存在的问题，并对此提出修正意见，以提高教学质量和保证教学任务的完成。荷兰著名数学家和数学教育家佛赖登塔尔指出，“反思是数学思维活动的核心和动力”、“通过反思才能使现实世界数学化”。因此，课堂中要注重对教材中知识的反思，尤其要在关键的知识点上进行反思。

例4. 在一条直线上有依次排列的n（n>1）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站p，使这n台机床到供应站p的距离总和最小，问p设在哪里？

反思1：这是一道实际问题，如何将它转化成数学问题，可以n取特殊值思考，画图

（1）当n=2时 如图①，p应设在哪里？（A1、A2之间的任何地方）

（2）当n=3时 如图②（机床A2处）

（3）当n=4，5时，p应设在哪里？

反思2 ：若有n台机床，p应设在哪里？

当n为奇数时，p应设在处;当n为偶数时，p应设在与之间的任何地方

反思3：根椐上例的结论

如何求x-1+x-2+x-3+……+x-617的最小值？

2. 暴露学生思维过程，对解题思路进行反思

对解题过程的反思，目的在于追求对解题的思路、推理的过程、运算的过程、语言的表述进行优化和简缩，要暴露其解题过程中的思维活动，及时进行反思、修改、简缩，从中归纳、总结，使学生自主开阔数学思维的广度，从多角度、全方位审视数学问题，并逐步优化数学解题中的推理模式。

例5. 已知m满足m2-5m+1=0，求m2+的值。

学生：方程的求根公式

（思路清晰，但计算繁琐，大部分同学想到这一方法，既花时间，准确率又不高，笔者叫了几位学生板演，充分暴露其思维过程。）

师：回顾一下刚才几位同学的解法，大家觉得如何，有没有更好的方法？

（将学生的思维过程暴露后，引导学生反思，寻找最佳解法。）

学生反思：由m2-5m+1=0，易判断方程有两个不相等的实根，且常数项为1，由根与系数的关系，得此方程两根互为倒数，即m×=1 m+=-（-5）=5 ∴m2+=（m+）2-2=23

（这种方法挖掘了m的内涵，m与是方程m2-5m+1=0的两根，并与韦达定理进行了联系，这也体现了一种发散。能想到是非常了不起的！）

教师：对学生的多种解法，我们除了要比较各自的优劣外，也应允许学生犯错误，更要鼓励其探索反思，这样才能激发学生自主学习、探求问题的兴趣，让学生体会到最佳解题方法的思维规律。

3. 强调探究过程，对问题的理解进行反思

对于课堂教学中一些疑难点，教师如不借助于一定的探究手段，就不能调动学生思维的积极性，也很难达到预定的目标，只有在数学学习活动中探究其中的问题和答案，不断调整学生自己的学习策略，建构他们自己对问题的理解，从而提高学生个人的创造力。

例6. 在“由视图到立体图形”这一节中，用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图3和图4所示。

反思1：这样的几何体只有一种吗？它最小需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？

学生进小组活动，通过尝试搭小立方块，相互合作，相互出点子，得到多种答案，并总结出最少需要几个，最多需要几个。

反思2：根据主视图和俯视图，你能否不通过搭几何体模型，直接确定它最少需要多少个小立方块？最多又是多少？

学生进行小组讨论，交流总结并概括出：由俯视图确定小立方块的摆法，根据主视图确定每列的最高层次，即每列小立方块的个数。

最少摆法中所需小立方块的个数：3+2+1+1+1+1+1=10（图5）

最多摆法中所需小立方块的个数：3+3+3+2+2+2+1=16（图6）

通过反思性教学，利用探究，充分调动学生思维的积极性，将这类较难的问题解决了，而且还从动手操作提升到了理论的高度，使学生学到的知识得以内化。

三、作業附记

所谓作业附记是指把反思的内容附在作业后，可有督促学生对所学内容及时反思，也可以让教师及时了解学生对本节课的掌握情况。

如学生A说，“老师，刚开学的第一个星期发觉自已学的不是很认真，上课有时要走神，没有了上学期的那股冲劲，很担心自己数学成绩要下降，我该怎么办？”

这位学生实际上是在反思学习态度。我的评语是：你有这样的意识，说明你已经很不错了，老师也相信你能克服，你自己想想是否是这些方面的原因：1. 开学了，你那份懒散的心有没有收回？2. 是不是受到上学期期末考的刺激？（这位同学上学期真的是很认真，可期末考成绩不如意）3. 上课听的懂吗？ 此后，我还跟她面对面的交谈，她重新拾回了学习的信心！

还有一些同学专门整理出了一本订错本，把做错的作业订正在上面，而且还把反思附在后面，如学生B说，在-这题中我们应注意以下几点：①（a-b）2=（b-a）2而a-b=-（b-a）;②分数线还具有括号的功能，应减去分子的整体，加一个括号，即  -（2a2b+1）;③计算结果应是最简分式。

这是一位基础一般的学生的附记，她先把作业本中的错解照抄回来，然后正确的解做旁边，对照得出来3大注意点从中可以说明她是多么认真的在订错，而且还以她独特的方式来掌握这些容易错的地方，我把它推广到全班去，果然计算题正确率有很大的提高。

数学教学中反思关键要靠教师的示范、引导，但重要的是要学生自己学会反思，并在数学学习中自己自觉地进行反思，逐渐形成一种反思的意识和习惯，这样教师的“教”可以成功的实现最终的“不教”。

（作者单位：浙江省诸暨市枫桥镇中 311800）