高中物理巧解电场强度的方法探讨

黄水美

摘 要：电场强度是描述静电场性质非常重要的物理量，通过对求解电场强度几种方法的介绍，可以加深学生对电场强度概念的理解，并在变通和迁移中提高解决物理问题的能力，优化学生的抽象思维品质。

关键词：电场性质；电场强度；矢量；公式法；图象法；叠加法；微元法

电场强度是静电场中重要的概念，这是高中电学知识中的重难点，同时也是历年高考考查的热点内容。电场强度是矢量，描述电场的强弱和方向，是描述“电场力的性质”的物理量，由电场本身的性质决定。关于电场强度的求解方法可分为三大类：公式法、图象法和叠加法，其中叠加法的灵活应用对学生来说难度极大，如果能对物理基础较好的学生进行专题教学，既可以加深学生对电场强度概念的理解，又能在变通和迁移中提高解决物理问题的能力，优化学生的抽象思维品质。

一 、公式法

电场强度的公式及适用条件分别如下：

1.E=■，是电场强度的定义式，适用于一切电场。

2.E=k■，是真空中点电荷产生电场强度的决定式，只适用于孤立点电荷在空间任意一点产生的电场强度大小。

3.E=■，是匀强电场中电场强度与电势差的关系式，只适用于匀强电场。

二 、图象法

图象法就是利用E-x图象和φ-x图象的意义求解的方法，在φ-x图象中，图线切线的斜率大小是该处电场强度的大小。

例1 （2009年江苏物理）空间某一静电场的电势φ在x轴上分布如图1所示，x轴上两点B、C点电场强度在方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有（ ）

A.EBx的大小大于ECx的大小

B.EBx的方向沿x轴正方向

C.电荷在O点受到的电场力在x方向上的分量最大

D.负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功

解析 本题中的电场是非匀强电场。①方向判定：由沿电场线方向电势降低，可知由O点分别指向x轴正方向和x轴负方向；②x方向上的电场强度大小判定：由φ-x图线切线的斜率为此位置电场强度的大小，可知由O点沿x轴正方向的电场强度从零逐渐增大到最大又逐渐减小，同理，由O点沿x轴负方向的电场强度从零逐渐增大到最大又逐渐减小；可得出EBx>ECx，O点场强为零，因此正确选项为A、D。

三、 叠加法

真空中的点电荷产生的电场强度为E=k■，注意电强强度的方向（背离正点电荷，指向负点电荷）及电场强度用矢量叠加的平行四边形定则。找电荷系在空间位置产生电场强度，利用叠加的求解方法，都应从最简单的点电荷产生的电场开始分析，再将电荷系中各个点电荷在空间点产生的电场强度进行叠加求和，最后求出电荷系在空间位置所产生的合场强。

1.基本叠加法

例2 边长为a的正三角形ABC的三个顶点分别固定三个点电荷+q、+q、-q，求该三角形中心O点处的场强大小和电势大小。

解析 每个点电荷在O点处的场强大小均为E=■，根据矢量叠加的平行四边形定则，由如图2所示，得O点处的合场强为E0=■，方向由O指向C .

2.等效对称叠加法

（1）巧用微元叠加法

微元法就是将研究对象分割成无数个非常微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而使变量、难以确定的变量转化为容易确定的常量。

例3 如图3甲所示，均匀带电圆环所带正电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面对称轴上的一点，OP=L.试求P点的场强。

解析 设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看作点电荷。其所带电荷量为q=■.如图3乙，由点电荷场强公式可求得

每一点电荷q在P点处的场强

Ep=k■=k■=k■

由对称性可知，每一小段带电环在P处的场强Eq的垂直于轴向的分量Eqy相互抵消，而Eq的轴向分量Eqx之和即为带电圆环在P处的合场强EP.

Ep=nEpx=nEpcosθ=■·■=■。

点评 严格的说，微元法是利用微分的思想处理物理问题的一种思想方法，对考生来说有一定的难度，但是在高考题中时常出现，因此在复习过程中要进行此方法的思维训练，以适应高考的要求。

（2）妙用填补叠加法

求解物理问题，要根据问题给出的条件建立相对应的物理模型。但有时由题给条件建立模型不是一个完整的模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型。这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条件的差值问题。

例4 如图4所示，用长为l的金属丝变成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽度为d的间隙，且d<

解析 假设将这个圆环缺口补上，并且已补缺部分的电荷密度与原有缺口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整带电环。环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷可以看做为两个相对应的等量同种点电荷，他们在圆心O处的合场强为零。根据对称性可知，带电圆环在圆心O处的合场强为零。至于补上的带电小段，由题给条件可看作点电荷，它在圆心O处的场强E1是可求得。若题中待求场强为E2，则E1+E2=0.设原缺口环所带电荷的线密度为σ，σ=■，则补上的那一小段金属环的带电荷量q=σd，q在O处的场强为E1=■=■，由E1+E2=0，得E2=-E1 ，负号表示E2与E1反向，背向圆心向左.

点评 从此题解法可以看出，由于填补圆环缺口，将带电体“从局部合为整体”，再由“整体分为局部”，这种先合后分的思想方法能使解题者迅速获得解题思路。

（3）活用电像叠加法

电像法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法，利用此法分析解决问题时，要求学生能够熟悉基本模型，并能通过有效迁移解决实际问题，有快速破题、准确答题之效。

例5 （2013年安徽卷）如图5所示，xoy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z<0的空间，z>0的空间为真空。将电荷为q的点电荷置于z轴上z=h处，则在xoy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上z=■处的场强大小为（k为静电力常量）

A. k■ B. k■ C. k■ D. k■

解析 典型的电像法；感应电荷在导体外（z>0）空间产生的电场，相当于在原电荷相对于导体表面对称的位置，电量q′=-q的点电荷在（z>0）空间产生的电势。空间整体的电场就是原电荷和这个镜像电荷的叠加。由点电荷q和感应电荷等效于在z=-h处的点电荷-q，在空间产生电场的叠加可得，z轴上z=■处的场强大小为E=k■+k■=k■，即选项D正确。

点评 利用镜像法解题的关键是根据题设给定情景，发现其对称性，找到事物之间的联系，恰当地建立物理模型。

3.临界对称积分法

例6 （第29届全国中学生物理竞赛预赛卷）如图6甲所示，一半径为R电荷量为Q的带电金属球，球心位置O固定，P为球外一点.几位同学在讨论P点的场强时，有下列一些说法，其中哪些说法是正确的？

A.若P点无限靠近球表面，因为球表面带电，根据库仑定律可推知，P点的场强趋于无穷大。

B.因为在球内场强处处为0，若P点无限靠近球表面，则P点的场强趋于0。

C.若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的场强不变。

D.若保持Q不变，而令R变大，同时始终保持P点极靠近球表面处，则P点的场强不变。

解析 金属球为导体，电荷均匀分布在金属球表面，因此内部场强处处为零。若P点处于球外的空间位置，带电量为Q金属球在P点产生的场强，可等效于电荷量全部集中在球心的点电荷Q在P点产生的电场强度；若P点无限靠近球表面（相当P在球表面处），此时P点场强不能根据库仑定律求解，但应用场强的积分叠加法可得到答案，分析如下：

设电荷均匀地分布在球面上，把球面分成无限多个带电圆环球带如图6乙所示.

位于θ到θ+dθ之间的球带面积ds=2πR2sinθdθ

ρ为电荷的面密度ρ=■

位于θ到θ+dθ之间的球带上的电荷量dq=ρ2πR2sinθdθ

由对称性可得dq的合场强dE沿径向OP的方向，则

dE=k■cosα=k■cos■=k■

E=■ dE=■kρ■sinθdθ=2πkρsin■■=k■。

P点无限靠近球表面的场强为k■，不为无穷大，也不等于k■，所以选项A、B、D都错，只有C选项正确。

点评 处理边界问题时，由于边界处是转折点，无法利用常规方法作出准确判断时，应用积分法处理，虽积分法对高中学生而言是思维挑战，但应引导学生积极尝试。

综上所述，在物理教学中注重能力培养，寓能力培养于知识学习之中是物理教师探讨最多的一个问题，即“我究竞应该教什么？怎样去教才能通过知识教学培养能力呢？”注重科学方法的引导是一条有效的途径。通过在教学中对一般思维方法、物理学方法、解决具体问题的方法、哲学方法等的渗透引导，使学生学习活动的认识过程有序，可以让天份平常的学生能够学会他想学的知识，能够解决比较复杂的问题，领略到数理结合时的抽象美，最后转化成稳定的心理特征——物理能力，这是我们研究教学的最终目的。