“如切如磋”的数学反例教学

陈艳

摘 要：在数学学习中，“反例”有助于巩固与强化基础知识，理解与掌握概念、定理，培养学生的思维品质。本文从数学概念、定理和公式的理解与掌握这三个侧面谈如何运用反例教学

关键词：初中数学；反例；教学

引言：这是一个关于数学反例的小故事：

18世纪著名的数学家欧拉在证明了费尔马方程后，提出了一个猜想：x1n+x2n+…+xn-1n=xnn（n≥4）无正整数解。此后，在长达两个世纪的时间里，都没有人能够否认欧拉猜想的正确性。直到1966年，L.J.Lander和T.R.Parkin利用电子计算机发现了：275+845+1105+1335=1445，对于n=4的情形，在1987年，哈佛大学的N.Elkies也找到了反例：26824404+153656394+187967604=206156734，后来R.Frye又找到了更小的反例：958004+2175194+4145604=

4224814。

正如数学家盖尔鲍姆与奥斯特德在《分析中的反例》一书中所指出的，数学是有证明和反例组成的，数学是想着提出证明和构造反例的方向不断发展的。一个数学命题需要严密的证明才能肯定其正确性，而一个巧妙的反例就可以否定一个命题的正确性。在数学学习中，“反例”对巩固与强化基础知识，理解与掌握概念、定理，培养学生的思维品质等有着极为重要的意义。

一、运用反例，层层推进概念的理解与掌握

矛盾冲突是事物发展的根本动力。数学学习中，矛盾冲突同样有助于激活学生思维，优化理性思维品质。我国有句古话叫“如切如磋，如琢如磨”，我认为这句话放在这里也是很合宜的。通过运用反例，激起思维上的矛盾冲突，在辨析中深刻概念的理解与掌握。台大教授黄武雄也说过“导引定义，经常可以从反例着手”。

二、运用反例，熟练定理或性质的掌握与运用

数学定理具有科学的严谨性，定理的描述往往都是条件句，而定理的证明也多是从假设出发，才推出结论的。而一些学生在记忆的时候，往往忽略了定理中的“条件”，对“条件”有误，就会导致定理的运用错误。

例如，在学习全等三角形的判定时，我发现学生有两种错误：其一认为不仅“边边边、边角边、角角边、角边角”的情况下三角形全等，而且满足“角角角”的情况下三角形也全等。这时候，我仅仅只是举起了一块三角板，学生就明白了，因为在这块直角三角板的内部还有一个镂空的三角形，内外两个直角三角形的角均对应相等，但三角形显然不全等。

又例如，在学习“有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”我发现有些学生将这个“夹”字给忽略了，记成“有两边和一个角对应相等的两个三角形全等”这时候，我就在黑板上画了：

当然，在对定理的拓展延伸阶段仍可以巧用反例，在认识到“有两边和一个角对应相等的两个三角形全等”这句话不正确以后，我提出了“只有两边和一角对应相等的两个三角形一定不全等么？”结合图1有学生想到，加入这个角对应的是这个三角形中最大的一边，则两个三角形是全等。然后，我又让学生仿照这个格式，寻找满足“只有两边和一角对应相等的两个三角形全等”命题的条件还有哪些，在经过较长时间的思考后，学生陆续提出，“当已知的等角是直角时，命题成立”“若两个三角形都是两个钝角三角形，则命题成立”“若两个三角形都是锐角三角形，则命题成立”等等。

通过这样的证明与反例交替的学习，学生对定理或性质的理解就不再仅仅局限于文字表面了，对定理的熟练运用也十分有益。

在一些命题和性质的证明中，应用反例的方法，就是数学中最常见的反证法。对一些命题，直接证明不易入手，而应用反证法，往往会豁然开朗。如，命题中带有“没有”“不能”“不是”字样的否定性命题就适于用反证法。例如“求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。”已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个钝角。那么，我们就可以假设∠A、∠B是钝角，即∠A>90°，∠B>90°，则∠A+∠B+∠C>180°，与定理“三角形内角和为180°”的定理矛盾，因此，假设不成立，即在一个三角形中，不能有两个角是钝角。

此外，像带有“至多、至少”字样的限定性命题、带有“总是、全部”字样的全肯定命题都适用反证法来证明。而对某些命题的逆命题的证明，应用反证法进行证明时可以使用原命题的结论，为解题带来便捷。

三、运用反例，准确掌握和运用公式

很多数学的公式的运用是有其前提条件的，学生在初学的时候，往往忽略了这些条件，在运用公式的时候就经常犯错。面对这种情况，我经常会给学生设下个小圈套，假如学生“中计”我正好将条件在这时候抖落出来，加深学生对错误的认识，再不敢粗心大意的用公式了。

反例对帮助学生澄清是非，认识数学问题的本质，准确运用公式有十分积极的教学意义。

四、运用反例教学应注意的问题

在教学中运用反例，最大的目的在于帮助学生换位思考，不要老师纠结命题为什么对，而是去思考命题为什么错，错在哪？在运用反例教学的时候，需要注意以下问题。

首先，反例的引入要合理。反例教学虽好，但一节课上用的过多，也会让学生生厌，适得其反。反例的设计要合理，要切合学生练习中常出现的错误，对学生起到警示、纠错的作用。对症下药，才能药到病除。其次，反例要有知识梯度。即运用反例要考虑学生的认知规律，既要注意难度程度的递进，又要针对学生的反应适时地给学生搭建踏板，帮助他们实现知识过渡。最重要的是，运用反例要有针对性，要有指向性，要针对本节课的教学目标或教学重难点 [3]。

反例教学不仅能帮助学生理解与掌握数学概念、定理和公式，还能帮助学生纠错、培养他们的逻辑思维和创新思维，提高他们的数学思维品质。此外，学会举反例，更有助于学生形成批判意识。可见反例在数学教学中的价值是巨大的，我们不仅要重视命题证明方面的教学，也要重视反例教学。使学生在“证明”与“反例”的“切磋”中，全面掌握数学知识，解决数学问题。

参考文献：

[1]王晓勇. 反例在初中数学课堂教学中的价值[J]数学学习与研究，2012（16）.

[2]凌建民. 运用反例，促进初中数学教学[J]中学生数理化·教与学，2014（7）.

[3]张裕华. 浅析初中数学反例教学实施的具体要求[J]理科考试研究·数学版，2013（11）.