不等式教学中学生解题能力培养方法的初探

陆新国

摘 要：解题能力是学生学习素养和智力水平的重要组成部分。高中生经过阶段性的实践和训练，积累了一定的观察问题、分析问题、解决问题的技能和方法，逐步形成了一定的解题能力。但是学生的联想能力以及综合分析判断能力还有待于进一步提高。教师要结合不等式章节教学实践，对高中生运用数形结合、等价转化、分类讨论等思想方法进行解题活动进行研究。

关键词：不等式；解题能力；学习技能

美国著名数学家波利亚曾经指出：“问题是数学的心脏，掌握数学意味着什么？那就是善于解题。”问题案例作为数学学科章节知识结构体系以及知识点内涵要义的高度概括和生动展现，已成为培养和提高学生解题能力的重要抓手。长期以来，解题能力都是教学活动的重要内容和目标要求。高中生经过阶段性的实践和训练，积累了一定的观察问题、分析问题、解决问题的技能和方法，逐步形成了一定的解题能力。但是学生的联想能力以及综合分析判断能力还有待于进一步提高。《高中数学新课程标准》指出：“要注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的数学能力，体现等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想。”现结合不等式章节教学实践，对高中生运用数形结合、等价转化、分类讨论等进一步提高学生解题能力的举措进行研究。

一、抓住不等式数与形的特征，培养学生数形结合解决问题能力

众所周知，数学学科知识就是数学语言与图形符号的有机结合体。问题案例的呈现，需要利用数学语言的精准性和图形符号的直观性进行生动形象的展示。有效、灵活运用数学问题的“数”与“形”，成为解题能力的一个重要因素。下面以线性规划问题为例，谈谈如何抓住数与形的特征进行数形结合教学的。

问题：要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的根数如下表所示：

若分别需A、B、C三种规格的钢管数为13、16、18根，则各截这两种钢管多少根可得所需的钢管，且使用钢管总根数最少？

分析：本题是属于线性规划的实际应用中求整数解的问题，解答该问题案例时，首先要抽象出线性目标函数以及线性的约束条件，将该数学语言变为图形符号，采用数形结合的方法进行问题研析，然后在图形的可行域内求出整数解。

解题过程略。

点评：线性规划问题中，若要求的最优解是整数解，对画出二元一次不等式组表示的平面区域图像有较高的精度要求。通过对图形符号的分析，得到的解可能为非整数解。这时应结合图形和实际目标作出分析和调整。其方法是利用数形结合的方法，以原点到线性目标函数所表示的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与其最为接近的整点。

二、抓住不等式内涵的外延丰富特性，培养学生化归方法

解决问题能力

不等式的知识与集合、简易逻辑、函数、导数、数列等内容关系密切，在解答不等式问题时，就可以“由此及彼”，联想相关知识方法，相互转化以达到解决问题的目的。

问题：若方程中至少有一个方程有实数根，求a的取值范围。

分析：上述问题是求解参数的取值范围，若直接解答，满足至少有一个方程有实根的情况主要有三种：一是只有一个方程有实根，二是有两个方程有实根，三是三个方程有实根。如果通过分类讨论的方法，则显得比较繁冗，此时，可以将这三种情况合称为至少一个方程有实数根，“正难则反”，想到问题的反面只有一种情形：三个方程均无实根，这样问题就转化为“反面求解”。

解：假设三个方程都没有实根，则

△■=（4a■）-4（-4a+3）<0△■=（a-1）■-4a■<0△■=（2a）■-4（-a）<0

解得-■

从上述解题过程可见，本题是关于方程根的问题案例，根据问题解答要求，需要高中生在解析过程中，认清问题条件中存在的内在联系，通过化归转化的方法，将其问题变为不等式来进行理解探析。

三、抓住不等式条件内涵多样特性，培养学生分类讨论方法解决问题能力

分类讨论是数学问题解答中经常性运用的一种策略，通过训练能够使学生的思维能力更加严密，思考更为周全，有助于提高学生数学思维能力。

问题：设m∈R，解关于x的不等式m2x2+2mx-3<0。

思路解析：不等式的二次项系数中含有参数，在求解过程中要注意针对m2是否为0分两种情况进行讨论；同时，当m2不为0时，对应的二次方程如果有实根，还要注意判断其根的大小关系，如果不确定，还要进行下一个层次分类讨论。

解：（1）当m=0时，不等式m2x2+2mx-3<0化为0·x2+0·x-3<0，此时不等式恒成立，其解集是R。

（2）当m≠0时，不等式m2x2+2mx-3<0即为（mx+3）（mx-1）<0。

方程（mx+3）（mx-1）=0的根是-■，■。

①当m>0时，■>-■，原不等式的解集是（-■，■）；②当m<0时，■<-■，原不等式的解集是（■，-■）。

综上所述，当m=0时，原不等式的解集是R；当m>0时，原不等式的解集是（-■，■）；当m<0时，原不等式的解集是（■，-■）。

总之，高中生解题能力的培养不是一朝一夕、一蹴而就的事情，需要教师的有效教学以及学生的长期的刻苦努力。以上的做法是笔者教学实践中的一些粗浅体会，在此抛砖引玉，希望能够有更多的教育工作者积极参与到解题能力的培养和实践中来，为培养和提高学生的数学思维能力献计出力。

（江苏省如皋中学）

摘 要：解题能力是学生学习素养和智力水平的重要组成部分。高中生经过阶段性的实践和训练，积累了一定的观察问题、分析问题、解决问题的技能和方法，逐步形成了一定的解题能力。但是学生的联想能力以及综合分析判断能力还有待于进一步提高。教师要结合不等式章节教学实践，对高中生运用数形结合、等价转化、分类讨论等思想方法进行解题活动进行研究。

关键词：不等式；解题能力；学习技能

美国著名数学家波利亚曾经指出：“问题是数学的心脏，掌握数学意味着什么？那就是善于解题。”问题案例作为数学学科章节知识结构体系以及知识点内涵要义的高度概括和生动展现，已成为培养和提高学生解题能力的重要抓手。长期以来，解题能力都是教学活动的重要内容和目标要求。高中生经过阶段性的实践和训练，积累了一定的观察问题、分析问题、解决问题的技能和方法，逐步形成了一定的解题能力。但是学生的联想能力以及综合分析判断能力还有待于进一步提高。《高中数学新课程标准》指出：“要注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的数学能力，体现等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想。”现结合不等式章节教学实践，对高中生运用数形结合、等价转化、分类讨论等进一步提高学生解题能力的举措进行研究。

一、抓住不等式数与形的特征，培养学生数形结合解决问题能力

众所周知，数学学科知识就是数学语言与图形符号的有机结合体。问题案例的呈现，需要利用数学语言的精准性和图形符号的直观性进行生动形象的展示。有效、灵活运用数学问题的“数”与“形”，成为解题能力的一个重要因素。下面以线性规划问题为例，谈谈如何抓住数与形的特征进行数形结合教学的。

问题：要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的根数如下表所示：

若分别需A、B、C三种规格的钢管数为13、16、18根，则各截这两种钢管多少根可得所需的钢管，且使用钢管总根数最少？

分析：本题是属于线性规划的实际应用中求整数解的问题，解答该问题案例时，首先要抽象出线性目标函数以及线性的约束条件，将该数学语言变为图形符号，采用数形结合的方法进行问题研析，然后在图形的可行域内求出整数解。

解题过程略。

点评：线性规划问题中，若要求的最优解是整数解，对画出二元一次不等式组表示的平面区域图像有较高的精度要求。通过对图形符号的分析，得到的解可能为非整数解。这时应结合图形和实际目标作出分析和调整。其方法是利用数形结合的方法，以原点到线性目标函数所表示的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与其最为接近的整点。

二、抓住不等式内涵的外延丰富特性，培养学生化归方法

解决问题能力

不等式的知识与集合、简易逻辑、函数、导数、数列等内容关系密切，在解答不等式问题时，就可以“由此及彼”，联想相关知识方法，相互转化以达到解决问题的目的。

问题：若方程中至少有一个方程有实数根，求a的取值范围。

分析：上述问题是求解参数的取值范围，若直接解答，满足至少有一个方程有实根的情况主要有三种：一是只有一个方程有实根，二是有两个方程有实根，三是三个方程有实根。如果通过分类讨论的方法，则显得比较繁冗，此时，可以将这三种情况合称为至少一个方程有实数根，“正难则反”，想到问题的反面只有一种情形：三个方程均无实根，这样问题就转化为“反面求解”。

解：假设三个方程都没有实根，则

△■=（4a■）-4（-4a+3）<0△■=（a-1）■-4a■<0△■=（2a）■-4（-a）<0

解得-■

从上述解题过程可见，本题是关于方程根的问题案例，根据问题解答要求，需要高中生在解析过程中，认清问题条件中存在的内在联系，通过化归转化的方法，将其问题变为不等式来进行理解探析。

三、抓住不等式条件内涵多样特性，培养学生分类讨论方法解决问题能力

分类讨论是数学问题解答中经常性运用的一种策略，通过训练能够使学生的思维能力更加严密，思考更为周全，有助于提高学生数学思维能力。

问题：设m∈R，解关于x的不等式m2x2+2mx-3<0。

思路解析：不等式的二次项系数中含有参数，在求解过程中要注意针对m2是否为0分两种情况进行讨论；同时，当m2不为0时，对应的二次方程如果有实根，还要注意判断其根的大小关系，如果不确定，还要进行下一个层次分类讨论。

解：（1）当m=0时，不等式m2x2+2mx-3<0化为0·x2+0·x-3<0，此时不等式恒成立，其解集是R。

（2）当m≠0时，不等式m2x2+2mx-3<0即为（mx+3）（mx-1）<0。

方程（mx+3）（mx-1）=0的根是-■，■。

①当m>0时，■>-■，原不等式的解集是（-■，■）；②当m<0时，■<-■，原不等式的解集是（■，-■）。

综上所述，当m=0时，原不等式的解集是R；当m>0时，原不等式的解集是（-■，■）；当m<0时，原不等式的解集是（■，-■）。

总之，高中生解题能力的培养不是一朝一夕、一蹴而就的事情，需要教师的有效教学以及学生的长期的刻苦努力。以上的做法是笔者教学实践中的一些粗浅体会，在此抛砖引玉，希望能够有更多的教育工作者积极参与到解题能力的培养和实践中来，为培养和提高学生的数学思维能力献计出力。

（江苏省如皋中学）

摘 要：解题能力是学生学习素养和智力水平的重要组成部分。高中生经过阶段性的实践和训练，积累了一定的观察问题、分析问题、解决问题的技能和方法，逐步形成了一定的解题能力。但是学生的联想能力以及综合分析判断能力还有待于进一步提高。教师要结合不等式章节教学实践，对高中生运用数形结合、等价转化、分类讨论等思想方法进行解题活动进行研究。

关键词：不等式；解题能力；学习技能

美国著名数学家波利亚曾经指出：“问题是数学的心脏，掌握数学意味着什么？那就是善于解题。”问题案例作为数学学科章节知识结构体系以及知识点内涵要义的高度概括和生动展现，已成为培养和提高学生解题能力的重要抓手。长期以来，解题能力都是教学活动的重要内容和目标要求。高中生经过阶段性的实践和训练，积累了一定的观察问题、分析问题、解决问题的技能和方法，逐步形成了一定的解题能力。但是学生的联想能力以及综合分析判断能力还有待于进一步提高。《高中数学新课程标准》指出：“要注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的数学能力，体现等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想。”现结合不等式章节教学实践，对高中生运用数形结合、等价转化、分类讨论等进一步提高学生解题能力的举措进行研究。

一、抓住不等式数与形的特征，培养学生数形结合解决问题能力

众所周知，数学学科知识就是数学语言与图形符号的有机结合体。问题案例的呈现，需要利用数学语言的精准性和图形符号的直观性进行生动形象的展示。有效、灵活运用数学问题的“数”与“形”，成为解题能力的一个重要因素。下面以线性规划问题为例，谈谈如何抓住数与形的特征进行数形结合教学的。

问题：要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的根数如下表所示：

若分别需A、B、C三种规格的钢管数为13、16、18根，则各截这两种钢管多少根可得所需的钢管，且使用钢管总根数最少？

分析：本题是属于线性规划的实际应用中求整数解的问题，解答该问题案例时，首先要抽象出线性目标函数以及线性的约束条件，将该数学语言变为图形符号，采用数形结合的方法进行问题研析，然后在图形的可行域内求出整数解。

解题过程略。

点评：线性规划问题中，若要求的最优解是整数解，对画出二元一次不等式组表示的平面区域图像有较高的精度要求。通过对图形符号的分析，得到的解可能为非整数解。这时应结合图形和实际目标作出分析和调整。其方法是利用数形结合的方法，以原点到线性目标函数所表示的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与其最为接近的整点。

二、抓住不等式内涵的外延丰富特性，培养学生化归方法

解决问题能力

不等式的知识与集合、简易逻辑、函数、导数、数列等内容关系密切，在解答不等式问题时，就可以“由此及彼”，联想相关知识方法，相互转化以达到解决问题的目的。

问题：若方程中至少有一个方程有实数根，求a的取值范围。

分析：上述问题是求解参数的取值范围，若直接解答，满足至少有一个方程有实根的情况主要有三种：一是只有一个方程有实根，二是有两个方程有实根，三是三个方程有实根。如果通过分类讨论的方法，则显得比较繁冗，此时，可以将这三种情况合称为至少一个方程有实数根，“正难则反”，想到问题的反面只有一种情形：三个方程均无实根，这样问题就转化为“反面求解”。

解：假设三个方程都没有实根，则

△■=（4a■）-4（-4a+3）<0△■=（a-1）■-4a■<0△■=（2a）■-4（-a）<0

解得-■

从上述解题过程可见，本题是关于方程根的问题案例，根据问题解答要求，需要高中生在解析过程中，认清问题条件中存在的内在联系，通过化归转化的方法，将其问题变为不等式来进行理解探析。

三、抓住不等式条件内涵多样特性，培养学生分类讨论方法解决问题能力

分类讨论是数学问题解答中经常性运用的一种策略，通过训练能够使学生的思维能力更加严密，思考更为周全，有助于提高学生数学思维能力。

问题：设m∈R，解关于x的不等式m2x2+2mx-3<0。

思路解析：不等式的二次项系数中含有参数，在求解过程中要注意针对m2是否为0分两种情况进行讨论；同时，当m2不为0时，对应的二次方程如果有实根，还要注意判断其根的大小关系，如果不确定，还要进行下一个层次分类讨论。

解：（1）当m=0时，不等式m2x2+2mx-3<0化为0·x2+0·x-3<0，此时不等式恒成立，其解集是R。

（2）当m≠0时，不等式m2x2+2mx-3<0即为（mx+3）（mx-1）<0。

方程（mx+3）（mx-1）=0的根是-■，■。

①当m>0时，■>-■，原不等式的解集是（-■，■）；②当m<0时，■<-■，原不等式的解集是（■，-■）。

综上所述，当m=0时，原不等式的解集是R；当m>0时，原不等式的解集是（-■，■）；当m<0时，原不等式的解集是（■，-■）。

总之，高中生解题能力的培养不是一朝一夕、一蹴而就的事情，需要教师的有效教学以及学生的长期的刻苦努力。以上的做法是笔者教学实践中的一些粗浅体会，在此抛砖引玉，希望能够有更多的教育工作者积极参与到解题能力的培养和实践中来，为培养和提高学生的数学思维能力献计出力。

（江苏省如皋中学）