白噪声背景下基于MUSIC算法的信号频率检测仿真

秦 阳，刘洪彪，胥勇军，赵 桦，周陈超，房 敏，邓朝平

（解放军95806部队，北京 100076）

0 引 言

在实际应用中，常常需要对空间中存在的多个信号源进行分解，以便跟踪或检测感兴趣的空间信号，抑制那些被认为是干扰的空间信号。例如对天线阵列接收的空间信号所进行的分析与处理称为阵列信号处理。而空间谱估计技术是在波束形成技术、零点技术和时域谱估计技术的基础上发展起来的一种技术。与频谱表示信号在各个频率上的能量分布相对应，空间谱则可解释为信号在空间各个方向上的能量分布，空间谱估计技术的目标是研究提高在处理带宽内空间信号角度的估计精度、角度分辨率和提高运算速度的各种算法。经过多年的发展，已经产生了大量性能优异的测向算法可资利用，典型的有 MUSIC［1］、ESPRIT［2］等。

MUSIC算法是基于特征结构分析的空间谱估计方法，是空间谱估计技术的典型代表。其测向原理是根据矩阵特征分解的理论［3］对阵列输出协方差矩阵进行特征分解，将信号空间分解为噪声子空间D和信号子空间C，利用噪声子空间D与阵列的方向矩阵A的列矢量正交的性质，构造空间谱函数P（w）并进行谱峰搜索，从而估计出信号方向信息。本文通过仿真验证了MUSIC算法可以很好地对信号参数进行估计。

1 MUSIC算法基本原理

1.1 信号子空间和噪声子空间［4］

一个系统的输入信号可以表示为（有用）信号S及噪声N之和，即：

式中：X＝ ［x1，x2…xp］T，为输入信号向量；S＝［s1，s2…sp］T， 为 有 用 信 号 向 量；N＝［n1，n2…np］T，为噪声信号向量。

于是，可以定义输入信号的相关函数矩阵Rxx为：

式中：“＊”表示复数共轭；由定义可知，信号矩阵Rxx为Hermite矩阵，即满足Rxx＊＝RxxT。

因此，若输入信号和噪声信号互不相关，则相关矩阵Rxx可写为：

式中：Rs和Rn分别为信号与噪声的相关矩阵。

假如有p个互不相关的信号源同时作用于系统的m个输入端，系统的输入向量X构成了p维酉向量空间Up，则第p个源在第m个输入端上的输入信号可以写为：

式中：ap（t）为输入信号的复包络；ω为信号载频；φpm为信号的相位滞后。

若第p个信号源的复包络ap（t）为随机的，则它的有用信号向量S也为一随机向量。可以用它在m个输入端的相位滞后来定义一个信号特征向量Sp，即：

则由p个信号方向向量所张成的空间Span｛Sp，p＝1，2，…，P｝称为在全空间UM中的p维信号子空间C（其中p≤m），而将它在全空间UM中的正交补空间C⊥称为M-P维噪声子空间D。

信号子空间和噪声子空间的物理意义是明显的，若一个理想的系统输入无噪声，则经过统计平均所得的输入向量必落在信号子空间C内，但是若系统输入有噪声时，它就不能完全落在信号子空间内，而它中间的噪声分量则应落在噪声子空间C⊥内。

1.2 MUSIC算法［5］

MUSIC算法的基本思想是将阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分解，从而得到与信号分量相对应的信号子空间和与信号分量相正交的噪声子空间，利用2个子空间的正交特性构造出“针状”空间谱峰来估计信号的方向信息。

设空间有p个互不相关的信号，以方位角θ1，θ2，…，θp入射到具有m个接收阵元的接收阵元阵列中，入射信号的数目p小于阵列的阵元数m，则此阵列系统的信号模型为：

对由上式描述的阵列信号观测模型做以下假设：

假设1：对于不同的wi值，向量a（wi）相互线性独立；

假设2：加性噪声向量N（n）的每个原色都是零均值的复白噪声，它们不相关，并且具有相同的方差σn2；

假设3：矩阵P＝E｛S（n）SH（n）｝非奇异，即rank（P）＝p。

上述3个假设都只是一般的假设，在实际中容易得到满足。可见：

式中：AH为A的共轭转置；I为单位矩阵。

于是，Rxx是个对称矩阵，令其特征值分解为：

由于A列满秩，故rank（APAH）＝rank（P）＝p，且这里假定p＜m，于是有：

式中：a12，…，ap2为无加性噪声时的观测信号AX（n）的自相关矩阵APAH的特征值。

同时用UH左乘和U右乘上式，得：

这表明，自相关矩阵Rxx的特征值为：

根据信号特征值和噪声特征值，将特征矩阵U的列向量分为两部分，即：

式中：信号子空间C＝ ［S1，…，SP］＝ ［U1，…，UP］，由信号特征向量组成；噪声子空间D＝ ［g1，…，

又由Rxx＝APAH＋σn2I，有RxxD＝APAHD＋σn2D，利用上式的结果，得到：

上式成立的充分必要条件是AHD＝O。

将A＝ ［a（w1），…，a（wp）］代入式（15）得到：

显然，当w≠w1，…，wp时，aH（w）D≠OT。

将上式改成标量形式，可以定义一种类似于功率谱的函数：gm-p］＝ ［Up＋1，…，Um］，由噪声特征向量组成。

考察：

式（17）取峰值的p个w值给出p个信号的波达方向θ1，θ2，…，θp。

这样定义的函数描述了空间参数（即波达方向）的分布，因此成为空间谱。它能够对多个信号进行识别。可以看出，此算法的关键是要对自相关矩阵进行特征分解。

2 计算机仿真研究

2.1 仿真数据模型

通过对前面MUSIC算法基本原理的分析，N个正弦信号加白噪声的自相关函数可以表示为：

式中：rxx（n）为输入信号的自相关函数；rss（n）为有用信号的自相关函数；ruu（n）为白噪声信号的自相关函数；wi为正弦波的频率；Ai为正弦波的幅度；σn2为白噪声的方差；δ（k）为冲击函数。

本文对这种正弦波加白噪声的情形进行仿真，假定仿真的观测数据分别由下面两种情况产生：

（1）单个正弦信号检测情况

式中：u（n）为一高斯白噪声，其均值为0，方差为1，采用混合同余法产生。

用MUSIC方法估计观测数据中正弦波的频率，并给出白噪声方差σn2与复正弦波的振幅A的估计值。

2.2 仿真图形结果

westimate1＝0.250 0π（估计频率），S＝1.405 8（噪声估计功率），A＝3.983 5（信号振幅估计），仿真结果如图1所示。

（2）多个正弦信号情况

图1 单个正弦信号短数据（N＝64）时的估计结果

westimate1＝0.250 0π（估计频率），S＝0.964 6（噪声估计功率），A＝4.008 3（信号振幅估计），仿真结果如图2所示。

图2 单个正弦信号长数据（N＝1 024）时的估计结果

S＝2.1686（噪声估计功率），A1＝3.887 2，A2＝2.187 4，A3＝2.910 4（信号振幅估计），仿真结果如图3所示。

图3 多个正弦信号短数据（N＝64）时的估计结果

S＝1.038 5（噪声估计功率），A1＝4.009 8，A2＝2.021 8，A3＝2.991 7（信号振幅估计），仿真结果如图4所示。

图4 多个正弦信号长数据（N＝1 024）时的估计结果

2.3 仿真结果分析

（2）在信号数据较少，即信号长度较短的情况下（N＝64），噪声功率和信号幅度的估计值有一定的偏差，这主要是因为信号短，加窗效应明显，自相关矩阵的估计误差比较大，因此特征值分解存在误差。增加信号长度可以减少信号自相关矩阵的估计误差，能够得到比较理想的结果，这可以从长数据（N＝1 024）中看出。

（3）在MUSIC方法中，前面几个噪声特征值对应的特征矢量都是相同的，于是尝试用单个特征矢量对单个正弦信号进行频率估计，结果出现了虚假峰，即在不等于信号频率的地方多出来一些峰值。研究特征矢量的正交性可知，特征矢量是两两正交的。对矩阵特征分解得到的特征矢量组成的矩阵U进行处理，程序如下：

计算得到的结果为：

图5 出现虚假峰的结果

3 结束语

通过对MUSIC算法的仿真研究讨论，可以看出该算法具有高分辨特性及较小的估计方差，有着优异的性能。在信号处理中几个重要问题，如本文讨论的噪声中几个叠加信号的参数估计，还有窄带传感器阵列的方向搜索，以及重叠回波的分辨率等，都可以采取此算法进行处理。但采样协方差矩阵的特征分解涉及大量不规则矩阵运算，运算量较大，限制了算法的实时运用。而且这里假定的信号源都是不相关的，对相关信号源运用MUSIC算法还需进行去相关处理［6-7］。因此，对算法的改进研究成为近年来许多学者研究的课题［8-10］。

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［3］ 程云鹏，张凯院，徐仲.矩阵论［M］.第3版.西安：西北工业大学出版社，2006.

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［8］ 黄磊，吴顺君，张林让，等.快速子空间分解方法及其维数的快速估计［J］.电子学报，2005，33（6）：977-981.

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［10］余继周，陈定昌.一种DOA估计的快速子空间算法［J］.现代电子技术，2005，28（12）：90-92.