谈因式分解中的提取公因式问题

蒋文芬

摘要：在初中数学教学中，因式分解是一个重点也是一个难点。本文主要讲解了因式分解中的提取公因式问题，旨在为学生掌握因式分解提供帮助。

关键词：初中数学；因式分解；提取公因式

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）03-0104

对于多项式的因式分解，最常用的方法有提公因式法、公式法以及简单的十字相乘法。其中最基础、最常用的方法是提公因式法。那么，我们在用提公因式法进行因式分解的时候，需要注意哪些内容呢？

一、明确因式分解的步骤

1. 找出公因式

所谓公因式，它包括“两最”，即：

（1）多项式中，各个项的系数的最大公约数

（2）多项式中，各个项都共同拥有的字母，且要取该字母的最小指数幂

这两个“最”相乘所谓的积，为我们所需要寻找的分因式。如：

多项式5a+20ab+10a2b中，

各项的系数分别为5、20、10，它们的最大公约数是5，

5a、20ab、10a2b三个项中共同拥有的字母是a，而a的最小指数幂是1次，可以省略不写，这两“最”相乘所得的积为5a，所以，多项式5a+20ab+10a2b的公因式为5a。

2. 进行因式分解

在进行因式分解时，就是把找出的公因式作为结果的一个单独的因式，然后用原多项式的每一个项去除以这个公因式，并将所得的商相加的和，作为结果的另一个因式，如：

多项式5a+20ab+10a2b中的5a÷5a=1，所得的商为1

多项式5a+20ab+10a2b中的20ab÷5a=4b，所得的商4b

多项式5a+20ab+10a2b中的10a2b÷5a=2ab，所得的商2ab

然后我们将此三个商相加的所得和为1+4b+2ab看作是一个整体，把它作为结果的另一个因式，所以，多项式5a+20ab+10a2b分解因式的结果为5a（1+ 4b+ 2ab），即：

5a+20ab+10a2b=5a（1+ 4b+ 2ab）

二、在具体操作时，要注意找公因式的细节

1. 明确目标，即弄清楚所须进行因式分解的多项式究竟有多少个项，在寻找公因式的时候，要做到顾全大局、兼顾每一个项。

2. 寻找各个项的数字因数，把它们逐一找出来，并进行质因数的分解，通过计算，求出各个项的数字因数的最大公约数，将它作为结果的一个因式。

3. 寻找出各个项中所拥有的相同的字母，并把它们一一列举出来。

4. 将所列举出来的字母返回到原多项式的每一个项中，进行比较，提取出相同的那个字母的最小指数幂，将所提出的各个不同字母的最小指数幂相乘所得的积作为结果的又一个因式。

5. 把2、4两个步骤中的结果相乘所得的积，就是我们所要寻找的多项式的最大公因式。

例如：找出下列各式的最大公因式：

（1）7x2-21x；

（2）a3 b2-12ab3c+ab；

（3）6（x-2）+（2-x） +2x-4；

（4）3x2+6x2y-12xy2

现在我们一起来分析一下上述各式：

在（1）中，要求分解的多项式只有两个项，即7x2和21x，这两个项的数字因数分别是7和21，而7和21的最大公约数是7；然后，这两个项中含有的字母非常简单，只有一个，那就是x；在“7x 2”项中，x的指数为2次，在“21x”项中x的指数是1次，其中，1次为最小指数幂，所以，我们就把x当成是结果的一个单独的因式了；于是，对于多项式“7x2-21x”来说，它的最大公因式就应该是7与x相乘所得的积“7x”。

对于（2）题来说，要求分解的多项式是a3b2-12ab3c+ab，共有三个项，而不是两个项了。这三个项分别是：a3b2、12ab3c和ab。

在项“a3b2”中，其数字因数为省略了的“1”，含有的字母有两个，分别是a和b；

在项“12ab3c”中，其数字因数为12，含有的字母有三个，分别是a、b和c；

在项“ab”中，其数字因数也为省略了的“1”，含有的字母也有两个，即是a和b；

对于数字因数1、12与1来说，其最大公约数为“1”；字母因数a在三个项中的次数分别是3、1和1，最小指数幂为“a”；字母因数b在三个项中的次数分别是2、3和1，最小指数幂为“b”；字母因数c在三个项中的次数分别是0、1和0，最小指数幂为“c0”，而“c0=1”；又因为：“1”与“a”、“b”、“c0”相乘所得的积是“abc”，所以，多项式 “a3b2-12ab3c+ ab”的最大公因式只能是“abc”了。

至于第（3）题，要求分解的多项式6（x-2）+（2-x）+2x-4的情况又和前两个都有所不同了：

整体一看，此多项式有四个项，即：6（x-2）、（2-x）、2x和4，但是，当我们注意到括号的整体性时，就会很自然的想到把它的最后的两个项结合起来，看成是一个整体，即为：（2x-4）=2（x-2），从而，原先的多项式就变成了：

6（x-2）+（2-x）+2（x-2）

考虑到 “（2-x）”与“（x-2）”互为相反数，即：（2-x）=-（x-2），故原先的多项式也可以改写成：

6（x-2）-（x-2）+2（x-2）

这样，原多项式就由四个项变成了三个项，即：6（x-2）、（x-2） 和2（x-2）。

在项“6（x-2）”中，其数字因数为“6”，含有的字母只有一个，即是“（x-2）”；

在项“（x-2）”中，其数字因数为省略了的“1”，含有的字母也只有一个“（x-2）”；

在项“2（x-2）”中，其数字因数为“2”，含有的字母还是只有一个，即是“（x-2）”；

因为数字因数6、1与2的最大公约数是“1”；字母因数（x-2）在三个项中的次数都是1，最小指数幂就为“（x-2）”；又因为：“1”与“（x-2）”相乘所得的积是“（x-2）”，所以，多项式“6（x-2）-（x-2）+2（x-2）”的最大公因式是“（x-2）”，即原多项式6（x-2）-（2-x）+2x-4的最大公因式是“（x-2）”。

那么，聪明的，现在你能够告诉我：第（4）题中多项式 3x2+6x2y -12xy2的最大公因式是是什么吗？试一试，相信你一定能独立对它进行因式分解。

（作者单位： 贵州省遵义县鸭溪镇中学 563100）