数学专题复习中高考真题的选用原则

李巧

摘要：数学专题复习中要用到大量的高考真题，但在运用过程中会存在一定的问题。为了能更好地发挥高考真题的作用，笔者建议数学教师在选用时要坚持适中性、主干性、新颖性、生活性、开放性、思想性这六个原则。

关键词：数字专题复习；高考真题；选用原则

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）03-0108

高考专题复习中要用到大量的高考真题，这对考生熟悉高考试题命题特点、掌握有效解题方法、提高专题复习效率起到很大的作用。但凡事都有度，目前专题复习中高考真题的应用也存在一定的问题。

数量问题：数量多，甚至编成真题集，狂轰滥炸，学生疲于应付，做题兴趣不大。实际还存在着高考知识点连续重复考查可能性小的问题，学生不愿意做。

质量问题：对高考试题拿来就用，认为高考试题质量好，用不着选编。实际高考试题也有好有差，难度高低不一。

难度问题：在某些主干知识点上的高考命题其难度普遍比较大，如一味地加以选用，会导致难点过于集中，做起来耗时很多，讲解后也是似懂非懂，打消学生做题的积极性。

要提高高考真题的应用效率，必须做到科学选用。在选用时要坚持如下原则：

一、适中性

高考真题的编选要贴合自己的校情、教情、学情。要紧扣《考试大纲》，要尽量选择对于自己所教学生而言难度适中的真题，尽量少选高难度真题，不要钻牛角尖，要重在通过真题掌握重点，突破难点，领会解题技巧、方法与思想。

例1. （2013·陕西理）21. （本小题满分14分）

已知函数f（x）=ex，x∈R.

（Ⅰ）若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图像相切， 求实数k的值；

（Ⅱ）设x>0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m>0）公共点的个数。

（Ⅲ）设a

【分析】本题考查函数、导数、不等式、参数等问题，属于难题。第二问运用数形结合思想解决问题，能够比较清晰的分类，做到不重不漏。最后一问，考查函数的凹凸性，富有明显的几何意义，为考生探索结论提供了明确的方向，对代数手段的解决起到导航作用。

对难题的选用，要注意因时因人而异。普通中学尽量少用，分散用，选择典型的用。一轮尽量不用或少用，二轮复习时可适量用。重点中学也要注意过度集中使用，导致复习耗时过多，学生压力过大，复习兴趣下降问题。

二、主干性

高考卷依据考试说明，考查的多是主干知识点。主干知识共有七大块：函数与导数（及其应用）、不等式（解法、证明及应用）、数列（及其应用）、三角函数（图像、性质及变换）、直线与平面及简单几何体（空间三种角）、七种距离（点面、异面直线之间距离为常考）、面积与体积的计算、直线与圆锥曲线、概率与统计。浙江2013理科卷考查注重重点和热点主干问题的考查：复数的运算、集合与简易逻辑、线性规划、排列组合、算法、二项式定理、三视图等知识点，解析几何与立体几何是两小题和两大题，解答题分别考查数列，概率与统计和离散型随机变量的分布列及期望和方差的计算，解析几何和函数与导数这些重点知识模块。专题复习时要注意选择突出主干知识考查的高考真题。

例2. （2013·天津理）2. 设变量x，y满足约束条件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0则目标函数z=y-2x的最小值为（ ）

A. -7 B. -4 C. 1 D. 2

【分析】本小题考查线性规划的基础知识。线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考，为主干知识。抓住主干知识，也就突出了复习的重点。

主干知识解答题中常有一些带有套路性的解题程序出现，要有意识地提炼出来形成模型加以反复练习。如许多压轴题的最后一步往往归结为“二次函数最值或单调性”、“双钩函数与基本不等式”、“恒成立问题与最值”等模型；立体几何中，线面垂直是联系各种平行垂直关系的枢纽，题目有或者能挖掘出此条件就等于成功了一半，之后用坐标法还是几何法都很容易。立体几何中的“向量坐标法”、解析几何中的“代入消元——韦达定理——判别式——弦长公式”一条龙，导数大题中“求导——求极值点——解导数不等式——分类讨论研究单调性”一条龙，几乎每套卷子里都会用到，往往成为一些大题的解题步骤。

三、新颖性

新形式新情境能更真实地考查出学生的实际能力。为提高试题的效度，高考命题注重材料新、视角新、观念新、表述新、形式新，避免重复特别是简单重复，以测评考生的真实水准。专题复习时要选择让学生耳目一新的真题，提升学生的兴趣，激发做题的欲望，培养应变的能力。

例3. （2013·安徽理）（17）（本小题满分12分）

设函数f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a>0，区间I={x f（x）>0}

（Ⅰ）求I的长度（注：区间（α，β）的长度定义为β-a）；

（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值。

【分析】第（1）题求解一元二次不等式确定区间的取值范围，根据题意能够求出的长度，简单题；第（2）题要能理解其实就是求关于在给定区间内的最小值，通过求导就能确定最小值是当取何值，但此题易错点在于需要比较a在1-k与1+k处I的大小，利用作差或作商都可以解决，出题思路比较新颖，容易迷惑，但只要能够理解题意，基本能够求解出来。

例4. （2013·山东理）16.定义“正对数”：ln+x=0，0

①若a>0，b>0，则ln+（ab）=bln+a

②若a>0，b>0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；

③若a>0，b>0，则ln+（■）≥ln+a-ln+b

④若a>0，b>0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2

其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）。

【分析】本题通过新定义考查考生分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想、推理判断能力与创新意识以及自主学习能力，富有思考性与挑战性，是考查考生潜在数学素养的好素材。

四、生活性

要多选用体现课程时代特征的、体现“生活元素”的高考真题。原则上超过二年，模型化痕迹明显，背景单一的题要弃用。

例5.（2013·山东文）10. 将某选手的个得分去掉个最高分，去掉个最低分，个剩余分数的平均分为，现场做的个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：

7 74 0 4 0 x 9 1

则7个剩余分数的方差为（ ）

A. ■ B. ■ C. 36 D. ■

【分析】2013山东卷中出现了一些“生活元素”，文科第10题、第17题、理科第19题等试题贴近考生生活，背景公平，富有时代气息，考查了考生的阅读理解能力，分析问题解决问题的能力以及应用意识，是对中学数学教学培养学生创新意识、探究能力和实践能力的检阅。

五、开放性

数学开放题是相对传统的条件完备、答案确定的封闭题而言的。一个数学问题，如果它的条件不完备、答案不唯一，或解题思路、方法不唯一，则这个数学问题称为开放题。平时提倡的“一题多解”则属于解题途径开放。此类开放题目的在于拓宽学生解题思路，培养学生思维的灵活性和创造性。开放性试题倡导学生从不同的层面和角度、多途径、多方法地创造性解决问题，解答过程能充分顾及到学生知识背景及认知水平，考查每个学生的优势领域、潜能和创新思维，平时练习有利于发展学生的个性，展示学生独特的个性品质，感受到不同程度的成功喜悦。

例6. （2013·山东理）22.（本小题满分13分）

椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为■，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2。若k≠0，试证明■+■为定值，并求出这个定值。

【分析】该题将常考的直线与圆锥曲线的相交关系变为相切关系，推理为主，运算为辅，斜率设而不求，设问方式上突破了常规的“存在”模式，把一题多解置于题目解答中，为不同层次的考生提供了更宽广的展示舞台。

数学开放题的选用，应力求以大纲、教材为依据，以学生的知识实际为出发点，以学生可接受性为尺度。应体现实用，重视运用，突出灵活，把握梯度。同时，教师应认真进行设计，教学的手段和方法要开放，才能促使学生学习状态的开放。

六、思想性

数学教学的根本目的，是通过数学知识和观念的培养，通过一些数学思想的传授，要让学生形成一种“数学头脑”，使他们在观察问题和提出问题、解决问题的每一个过程中，都带有鲜明的“数学色彩”，这样的数学一定会有真正的实效和长效，真正提高人的素质。专题复习高考真题的使用尤其要坚持这一原则。

例7.（2013·新课标I）（21）（本小题满分共12分）

已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2

（Ⅰ）求a，b，c，d的值。

（Ⅱ）若x≥-2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围。

【分析】本题考查导数的几何意义、导数与函数的最值、导数与函数的单调性，考查学生的分类讨论能力以及化归与转化思想。

2013年高考数学试题注重能力立意，以考查基础知识为重点，注重对通性通法的考查，淡化特殊技巧， 突出数学思想与方法的考查。山东数学卷非常重视数学思想与方法的考查，2003年卷中数形结合的思想渗透在线性规划（第6题）、函数图像（第8题等）的题目中；函数与方程的思想体现在第21题、第22题等题目中；转化与化归思想贯穿整份试卷；试卷对分类讨论的思想（第16题、第21题等）进行了深入考查。浙江卷许多试题背景熟悉，但将数学思想方法作为考查的重点，提高了试题的层次和品质。所有试题都可以用通性通法，回避了特殊技巧，即便压轴题也不例外。

（作者单位：浙江省台州市黄岩第二高级中学 318020）