浅谈两相交平面交线的求法

付娜

摘 要 在高中数学的学习中，往往会遇到求一个截面截几何体所成的图形；有时也会遇到用几何法解决无棱二面角的题目。在解决这类题目时必须要先求解平面的交线，才能解决相关的问题。针对交线的求法，本文给出了三个方法。

关键词 交线；求法；平面交线

在高中数学的学习中，往往会遇到求一个截面截几何体所成的图形；有时也会遇到用几何法解决无棱二面角的题目。在解决这类题目时必须要先求解平面的交线，才能解决相关的问题。下面就谈谈两相交平面交线的求法。

例1：如图1，E、F是CC1、BB1上任意点，且EF与棱BC不平行。求平面ABC与平面AFE的交线。

分析：由公理1：两点确定一条直线可得，只需确定两平面的两个公共点即可。由图平面ABC与平面AFE有一个公共点 A，另一个公共点可由两平面的相交直线EF、BC确定。延长EF、BC使其交于G点，则直线 为两平面的交线（如图2）。

例1中，存在两条相交直线，且其交点异于两平面已知交点。如果据图中不能直接找到交点异于已知点的两相交直线，又如何求平面的交线呢？

例2：如图3，E、F是D1C1、B1B上任意点，求平面ABC与平面AFE的交线。

分析：由于两平面有一个公共点A，再找一个公共点即可确定交线。另一交点的求法如下：

在平面AFE中，找一条线段，且此线段是平面ABC的斜线段，如图EF是平面ABC的斜线段。过线段端点作平面ABC的垂线段，分别为EG、FB。由于EG∥FB且EG≠FB，所以EGBD=F为梯形，EF、GB恰为两腰，所以必交于一点H，此时 即为两平面另一公共点，连接AH，即得交线为AH（图4）。此法过程即是：选斜线段，过端点作垂线段。

如果两平面没有异于已知公共点的相交直线，且一平面有平行另一平面的直线，除了用例2的方法，又如何作两平面的交线呢？

例3：如图5，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD。求平面PAB与平面PCD的交线。

分析：线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。由此可得：CD∥平面PAB，则CD∥平面PAB与平面PCD的交线。在平面 内，过两平面的公共点P作直线PE∥CD，则PE即为两平面的交线（图6）。）

例4：求交线的方法，利用了线面平行的性质定理。当一个平面内存在一条直线平行另一个平面时，可选用例3的方法求解交线。

本文给出了相交平面交线的三种求法，其中第2个例子所介绍的方法在任何时候都可以采用。当两个相交平面存在相交直线时，可采用例1方法求交线；当一个平面内存在一条直线平行另一个平面时，可选用例3的方法求解交线。

参考文献：

[1]马波.读《普通高中数学课程标准》（实验）立体几何部分.数学通报[J].2004，3：9-10

[2]王尚志，张思明.高中数学课程中的几何.中学数学教学[J].2007，11：3

作者简介：付 娜，女，四川省眉山中学校教师。