矩阵在实际中的应用

谢世伟

摘 要 在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。本论文意在着重研究矩阵在实际生活中的应用。

关键词 线性代数；矩阵；逆矩阵；密码

矩阵（Matrix）：在数学名词中，矩阵是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好地解释了代码制造世界的数学逻辑基础。矩阵是数学中最重要的基本概念之一、是线性代数学的一个主要研究对象，也是数学研究及应用的一个重要工具

成书于西汉末、东汉初的《九章算术》用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵，在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换，但当时并没有现在理解的矩阵的概念，虽然它与现在的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。

现代的矩阵概念是在19世纪逐渐形成的。1801年德国数学家高斯（F.Gauss，1777～1855）把一个线性变换的全部系数作为一个整体。1844年，德国数学家爱森斯坦（F.Eissenstein，1823～1852）讨论了（矩阵）“变换”及其乘积。1850年，英国数学家西尔维斯特（James Joseph Sylvester，18414-1897）首先使用“矩阵”一词。1858年，英国数学家凯莱（A.Gayley，1821～1895）发表《关于矩阵理论的研究报告》，他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并以这个主题首先发表了一系列文章，因而他被认为是矩阵论的创立者，是他给出了现在通用的一系列矩阵的定义，如：两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且m*n矩阵只能用n*k矩阵去右乘等。1854年，法国数学家埃米尔特（C.Hermite，1822～1901）使用了“正交矩阵”这一术语，但它的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius，1849～1917）提出，1879年费罗贝尼乌斯引入了矩阵秩的概念。

二、在社会生产管理中的应用

在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行有效的管理和调控，保证生产正常平稳的进行以达到最好的经济收益。

例如：某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原料费用、员工工资、管理和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。财务人员需要用表格形式直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。

表1 生产单位产品的成本（元）

表2 每种产品各季度产量（件）

该公司希望在股东会议上用一个表格直观的展示出以下数据

（1）每一季度中每一类成本的数量

（2）每一季度三类成本的总数量

（3）四个季度每类成本的总数量

我们用矩阵的方法考虑这个问题。两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。如下所示m=10 20 1530 40 2010 15 10，n=2000 3000 2500 20002800 4800 3700 30002500 3500 4000 2000通过矩阵的乘法运算得到

m*n=113500 178500 159000 110000222000 352000 303000 22000087000 137000 120500 85000

对总成本进行汇总，每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到，每一季度的总成本可由每一列相加得到。

这样，我们就利用矩阵的乘法把多个数据表汇总成一个数据表，从而比较直观地反映了该工厂生产的成本。

二、矩阵在密码学中的应用

在密码学中，原消息为明文，经过伪装的明文则变成了密文。由明文变成密文的过程称为加密，由密文变成明文的过程称为译密。加密的过程是利用密码实现的，密码在军事上和商业上是一种保密通信技术。矩阵在保密通信中发挥了重要作用。

例如，如图所示，当矩阵A可逆时，对R中的所有X，等式A-1AX=X说明，A-1把向量AX变回到X，A-1确定的线性变换称为由A确定的线性变换的逆变换。

这使人们想到可以利用可逆矩阵及其逆矩阵对需发送的秘密消息加密和译密。

假设我们要送出的消息“ACCOMPLISH THE TASK.”。首先把每个字母A，B，C，…，Z映射到数1，2，3，…，26.例如，数1表示A，数11表示K；另外，用0表示空格，27表示句号等。于是数集[1，3，3，15，13，16，12，9，19，8，0，20，8，5，0，20，1，19，11，27]表示消息“ACCOMPLISH THE TASK.”，这个消息（按列）写成4×5矩阵

M=1 13 19 8 13 16 8 5 191 3 12 0 0 1115 9 20 20 27

密码的发送者和接收者都知道的密码矩阵是

A=1 -1 -1 13 0 -3 43 -2 2 -1-1 1 2 -2

其逆矩阵（译码矩阵）是

A-1=1/29 1 -1 75 1 -1 5-19 -1 3 -13-21 -1 3 -15

加密后的消息通过通信渠道，以乘积AM的形式输出，接收者收到的矩阵

C=AM=1 -1 -1 13 0 -3 43 -2 2 -1-1 1 2 -21 13 19 8 13 16 8 5 191 3 12 0 0 1115 9 20 20 270 -6 31 23 -254 39 137 104 78-32 22 21 -6 -40-22 9 -51 -43 -14

之后接收者通过计算乘积A-1C来译出消息，即相继变换矩阵C的第1列，第2列，…的元素就会变回到原来的信息。

上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用，将高等代数与密码学紧密结合起来。运用数学知识破译密码，进而运用到军事等方面，可见矩阵的作用是何其强大。

参考文献：

[1]上海交通大学数学系.线性代数（第二版）[M].北京：科学出版社，2007.

[2]陆枫，何云峰.计算机图形学基础[M].北京：电子工业出版社，2008.

[3]郭龙先，张毅敏，何建琼.高等代数[M].北京：科学出版社，2011

[4]《线性代数及其应用》（第二版）天津大学数学系代数教研组编著