中考复习重抓典型例题解析，提升学生学习能力

宋祖平

中考数学的复习具有复习时间紧、内容多、任务重等特点。如何在中考前这一段宝贵的时间里高效地做好复习工作是广大师生和家长都非常关心的问题。作为教师，在复习中，一方面要把课本中所涉及的概念、公式、公理、定理、法则等重要知识点进行必要的梳理和归纳，让学生理解各知识点之间的内在联系，在其头脑中形成完整的知识网络；另一方面笔者认为中考复习要重抓典型例题的解析，提升学生学习能力。在典型例题解析的过程中让学生拓宽解题思路，学会一题多解，不仅要对每一种方法的实质及它所适应的题型，包括解题步骤应熟练掌握，还要学会选择最优解法。同时重视对数学思想的理解及运用，养成良好的解题习惯，努力做到让学生懂一题，知一类。

一、典型例题解析

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE

图1 图2 图3

分析：本题要证明CE⊥BE，实质上要证明∠CEB=90°。虽然是要求得∠CEB=90°，但题目已知给的是梯形三边的长。故本题的证明思路应从“边”出发，而不应从“角”出发。

思路一：用勾股定理的逆定理。

若能证出CE2+BE2=BC2，则此题得证。问题转为求线段CE和BE的长，线段CE和BE的长分别在Rt△CDE与Rt△BAE中，用勾股定理求，那么必须求得线段AD的长，自然想到做如图1的辅助线CF，从而在Rt△CFB中求得CF长，由AD=CF，即可解决问题。

证明：如图1，过C做CF⊥AB交AB于F点，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，

则AD=CF，AF=CD=1，由AB=2有BF=AB-AF=1；

∴CE2+BE2=BC2；∴∠CEB=90°；∴CE⊥BE

思路二：用等腰三角形三线合一性质。

考虑到在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD中点，所以可做如图2的辅助线：延长CE交BA延长线于F点。易证得△CDE≌△FAE，得到CE=FE，FA=CD=1，由BF=BC和等腰三角形三线合一性质易证CE⊥BE。

证明：如图2，延长CE交BA延长线于F点。在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠D=90°，

∵E是AD中点，∴DE=AE，∠AEF=∠CED，∴△CDE≌△FAE，∴CE=FE，FA=CD=1，BF=FA+AB=1+2=3=BC

∴BE⊥CF，即CE⊥BE。

思路三：用直角三角形斜边中线性质的逆定理来证明。

可做如图3的辅助线：取BC中点F点，连接EF。考虑到在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD中点，也可这样做辅助线：过E点做EF∥AB交CB于F点。由梯形中位线定理易到EF=2.5=CF=BF，由直角三角形斜边中线性质的逆定理易证△CEB为Rt△且∠CEB=90°，可证CE⊥BE。

证明：如图3，取BC中点F点，连接EF。则FB=FC=BC÷2=2.5

在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD中点，

∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（CD+AB）÷2=（1+2）÷2=2.5，EF=FB=FC

∴△CEB为Rt△且∠CEB=90°，∴CE⊥BE

二、典型例题变换

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，CE平分∠BCD，BE平分∠ABC.

问法一：求证：CE⊥BE；

问法二：求证：DE=AE；

问法三：求证：E点是AB的中点。

图a

分析：虽然题目已知给的是梯形的角和相关的角平分线。但本题的证明思路，不论是上述的哪一种问法，我们都可通过：即可从“边”出发，也可从“角”出发，来达到解题目的。

如问法一：由梯形AB∥CD，易知∠ABC+∠BCD=1800，由CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，易知∠EBC+∠BCE=900可得到∠CBE=900，即证得：CE⊥BE；

如問法二：如图a，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，根据角平分线性质定理，可得ED=EF=EA。显然，问法三，也可如此解得。

总之，中考数学的复习中，要让学生明白数学其实是不难的，只是理论性较强，不要害怕数学，更不要太紧张。让学生了解数学学科的特点，熟记公式，多思考，多挖掘多做题。在学习的过程中通过知识的积累和方法的顿悟达到数学综合素养的提高，每个学生的基础不同，学习态度也不同，所以要采用的方法也就不同。教师要根据自己的特点找到适合自己的复习方法，制订科学合理的复习策略，提升学生的学习能力。

编辑 王爱芳