浅谈如何运用数学建模思想解题

周伟

[摘 要] 建模思想在中考数学中发挥着重要作用，只有充分掌握第一手资料，了解问题的实际背景知识，用精确的数学语言提炼、描述表达，然后建立数学模型，求解、验证、分析，才能解决实际问题.

[关键词] 问题情境；建立模型；解释；应用；拓展

数学新课标指出：初中阶段的数学教学应结合具体的数学内容，采用“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用过程，从而更好地理解和掌握数学知识. “数学建模”，一是数学学习的要求，二是数学知识与技能的体现，是“应用—拓展”的前提，所以，初中数学教学应特别重视学生建模能力的培养. 学生数学建模能力的培养，应注意把握逐级递进、螺旋上升的原则，并贯穿学生的整个学习过程.

数学建模的过程

数学建模是运用数学的原理、方法、语言解决实际问题的过程，数学建模的过程主要包括4个环节：

（1）问题分析：了解问题的实际背景材料，分析并找出问题的本质.

（2）假设化简：确定影响研究对象的主要因素，忽略次要因素，以便简化问题，并进行数学描述和抓住问题的本质.

（3）建模求解：根据分析建立相应的数学模型，并用数学方法或计算机程序（软件包）对模型进行求解.

（4）验证修改：检验模型是否符合实际，并对它做出解释，最后将它应用于实际生产、生活中，产生社会效益或经济效益.

需要注意的是，数学建模的问题往往不是一个单纯的数学问题，它往往涉及其他学科知识以及生活知识. 数学建模的过程是一个多学科的合作过程，它促使学生融会贯通各门课程中学到的知识；促使学生根据需要查阅资料、获取知识；促使学生围绕问题收集信息，深化对问题的了解，并在此基础上解决问题. 数学建模还可以培养学生推演、探索、猜想、计算，以及使用计算器、计算机等的能力.

建模解题的案例分析

数学模型大致可分为三种类型，其中的一种是应用型数学模型，它涉及面广、数量众多，对科学的发展起着直接的作用，既是数学转化为生产力的关键，又是数学本身发展的源泉. 构造这种模型需具有相当广度和深度的数学修养，以及对实际问题的透彻认识. 应用型数学模型又可分为物理系统和非物理系统两类. 属于物理系统的数学模型如天体运行模型等，经常见到，而属于非物理系统的模型则如社会、经济、心理等问题.

数学建模的宣传语是：数学无所不在、无所不能. 具备数学修养的学生会在现实生活中不断地发现数学问题，并利用掌握的数学知识解决问题. 以下的实例就是一个典型的通过建立“数学模型”解决问题的典例.

例题？摇 一种电讯信号转发装置的发射直径为31 km，现要求：在一边长为30 km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这样的转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设要求？

（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些安装点安装了这种转发装置后能达到预设要求？

答题要求：请在解答时画出必要的示意图，并用必要的计算推理和文字来说明你的理由.

分析？摇 抓住覆盖建模. 覆盖在这里指一个圆或多个圆对其他图形不遗漏但可以重复地遮盖住. 就（1）而言，可以设想把正方形平均分成4个面积相等的小正方形，如图1所示，AE=15 km<31 km，所以4个点选在4个小正方形的中心即可；又想，如图2所示，连结2条对角线，把正方形分成4个全等的等腰直角三角形，4个点选在直角三角形斜边的中点（即正方形各边中点）；由此想象生发开去，过正方形中心的2条相互垂直的直线可以把正方形的面积4等分，如图3所示，A，B，C，D四点共圆，且点B到点C的距离不大于30 km，4个点选在每个任意小四边形非直角顶点连线段的中点处，这样就有无穷多个答案；还有一类，如图4所示，把正方形的面积分成4个全等的小矩形，4个点选在矩形中心，理由是直径为31 km的圆盖住的长为30 km的矩形的最大宽为 km，×4>30.

对于（2），1个点不行，如图5所示，理由是直径为31 km的圆盖住的长为30 km的矩形的最大宽为 km. 那2个点呢？也不行，如图6所示，理由是直径为31 km的2个相交圆盖住的长为30 km的矩形的最大面积为（30×）×2. 那3个点呢？可以. 如图7所示，先用直径为31 km的1个圆盖住30×的矩形，然后再把剩下的矩形分成2个近似正方形的矩形，3个点选在3个矩形的中心；由此想象生发开去，如图8所示，使BE=DG=CG，3个点选在3个矩形的中心，设AE=x，则ED=30-x，DH=15. 由BE=DG得x2+302=152+（30-x）2，解得x=3.75，因为BE=< 31，所以此方法可实现预设要求. 由上可知，要实现预设要求，至少需要3个点.

点评 本题考查学生把实际问题转化为数学模型进而求解的能力，考查运用数形结合思想解决问题的意识和能力，侧重于对过程性阅读和探究能力的考查，让学生经历问题理解、探究、发展的一般过程，获得研究问题的方法，关注学生类比、猜想、拓广的思维方法的形成过程，注重对学习方式的引导.

数学建模活动对于学习解题方法具有积极作用. 在目前的数学教学中，由于应试的压力，解题教学往往侧重于“解”本身而不在于“学解”，也就是题海战术. 对于大量的练习，学生学会了很多种类型题的解法，但一旦遇到新类型的题目，还是不会“解”，而这些会解的题目在今后的生活和工作中也基本无用. 所以解题教学的关键是“学解”，重“质”而不是重“量”.

在数学建模活动中，由于现实的问题千变万化，随着时间的变化，会有不停的新问题出现，没有人能够把所有问题都总结下来，让学生去练习，所以题海战术此时就失效了，学生只能从数学建模活动的第一步开始，仔细分析问题（弄清问题），独立思考并发挥创新思维建立模型（制订计划），使用合适的方法解答（执行计划），在验证环节中，还必须对建立的模型和解答做进一步验证和反思（回顾）. 这样的过程会在无形中“逼迫”学生使用正确的解题方法.

良好的解题能力对于数学建模具有事半功倍的作用. 当你学会使用正确的解题方法，拥有组织良好、数量庞大的知识体系以及思维体系时，就能拥有良好的解题能力. 遇到现实问题建立模型时，也不需要处处都创新，毕竟前人的经验对我们来说成本低廉，且使用这些成本低廉的经验能起到事半功倍的效果.

数学建模解题的几点要求

1. 理解实质，注意变式. 要抓住模型的组成结构、性质、特征，摒除本质以外的东西，特别要抓住几何中大量的基本定理、公式模型.

2. 加强比较，注重联系. 模型之间有区别，条件图形的丝毫改变都可能涉及模型的改变，有时，一个题目往往是多个模型的综合运用，这就要求我们既狠抓基础，又多练综合题.

3. 归纳总结，提炼模型. 模型不只在书本上，更多的是我们在练习中归纳总结的. 对于平时练习中的重要结论、规律，要注意将其提炼成一个模型.

对中学数学建模的看法和意见

1. 数学建模作业的评价以创新性、现实性、真实性、合理性、有效性等几个方面作为标准，对建模的要求不可太高.

2. 数学建模问题难易应适中，千万不要实施一些脱离中学生实际的建模教学，题目的难度以“跳一跳可以把果子摘下来”为度.

3. 建模教学应涉及高考应用题. 鉴于当前中学数学教学的实际，保持一定比例的高考应用问题是必要的，这样有助于调动师生参与建模教学的积极性，促进中学数学建模教学的进一步发展.

4. 建议中学数学教师继续开设“数学模型”课程，师范类高等院校专业有必要把“数学模型”列为必修课程. 中学教师只有通过对数学建模的系统学习和研究，才能准确地把握数学建模问题的深度和难度，以更好地推动中学数学建模的发展.

建立数学模型是数学知识与应用的桥梁，学习和研究数学模型对培养学生分析和解决实际问题的能力非常重要，亦是数学教学的主要目的之一，为此，在数学教学中要重视从实际问题中引出新概念、新知识，并注意培养学生敏锐的观察力、丰富的想象力、创造性的思维能力，及抽象、分析、归纳、综合的能力，使学生多方面、全方位地感受数学建模思想，了解数学建模的思维过程，逐渐理解和掌握数学建模的方法，以培养学生的学习兴趣、创新意识和实践能力.