几类二阶隐式常微分方程的解法

李子萍

摘 要 本文讨论了不能从 （，，，） = 0中解出的几类二阶隐式常微分方程的解法。

关键词 常微分方程 二阶微分方程 一阶隐式方程 通解

中图分类号：O175.1 文献标识码：A

Several Solutions of Second-order Ordinary Differential Equations

LI Ziping

（Lincang Teachers' College， Lincang， Yunnan 677000）

Abstract The paper discusses the Solution for some class of two order implicit ordinary differential equations that cannot be obtained from the （，，，） = 0.

Key words ordinary differential equation； two order differential equation； first order implicit equation； the general solution

对于高阶常微分方程，一般没有固定的实际解法。在二阶常微分方程 （，，，）中，若能解出，则可用降阶法求原方程得的通解（见文[1]），但有些方程却不能解出。本文就四类解不出的二阶隐式常微分方程进行求解。

1 形如 = （，）（a）的隐式常微分方程

令 = ，则 = = ，

从而，方程（）可化为

= （ ） （1）

两边对求导，得：

= （ ） + （ ）

或[（ ）] + （ ） = 0 （2）

为以为自变量，为未知函数的一阶微分方程，解得（2）的通解为 = （，）或 = （，）或 （，，） = 0。

下面对这三种情况，求出原方程的通解。

（i）、若（2）的通解为 = （，），

代入（1）得： = = （，（，））

积分得： = （，（，）） + （，为任意常数）

即为原方程（a）的通解。

（ii）、若（2）的通解为 = （，），

代入方程（1）得（1）的参数形式通解为：

，其中为参数

则

= = （（， ），） = （（， ）， ）（， ）

则积分得：

= （（， ），）（， ） + = （，，）（，为任意常数） 即为原方程（a）的参数形式通解。

（iii）、若（2）的通解为 （，，） = 0，

则（1）的通解为，

∵ = = ，

∴ = = （）

积分得： = （） +

因此，（为参数；，为任意常数）

即为原方程（a）的参数形式通解。

2 形如 = （， ）（b）的隐式常微分方程

令 = ，则 = = ，

于是方程（b）化为：

= （， ） （3）

两边对求导得：

= （， ） + （， ） （4）

或[ （， ）] + （， ） = 0

为以为自变量，为未知函数的一阶微分方程，其通解为

= （，）或 = （，）或 （，，） = 0。

下面分别在三种情形下，求原方程（b）的通解。

（i）、若（4）的通解为 = （，），

则方程（3）的通解为：

= （，（，））

即 = （，（，）≡（，）） （5）

（a）若能从（5） 中解出， = （，）

则 =（，） + ，

即为原方程（b）的通解。

（b）若从（5）中不能解出，则令 = = ，

则 = （，）

两边对求导，得：

1 = （，） = （，）

或 （，） = 0

其通解为

= （，，）或 = （，，）或（，，，） = 0。

于是原方程（b）的通解为： = （（，，））

或 或 （为参数；，为任意常数）

（ii）若（4）的通解为 = （，），

则方程（3）的通解为：

即

∵ =

∴ = （，） = （，）（，）

积分得： =（，）（，） +

因此，原方程（b）的参数形式通解为：

（为参数；，为任意常数）

（iii）、若（4）的通解为， （，，） = 0

则方程（3）的通解为：

（为参数；为任意常数）

即为原方程（b）的参数形式通解。

3 形如 （， ） = 0（c）的隐式常微分方程

若方程（c）可写成参数形式：（为参数）

则由 = ，

得： = = （）（）

积分得： = （）（） + = （，）

又 = ，

则 = = （，）（）

积分得， = （，）（） + = （，，）

因此，原方程（c）的通解为：

（为参数；，为任意常数）

4 形如 （ ，） = 0（d） 的隐式常微分方程

若方程（d）可写成参数形式（为参数）

则由 = 得： = =

积分得： = + = （，）

又∵ = ，

则 = = （）（，）

积分得： = （）（，） + = （，，）

则原方程（d）的通解为

（为参数；，为任意常数）

例：求解微分方程 = 0

解：原方程即为， =

用文中类型（b）的方法

令 = ，则 = =

方程化为： = （*）

方程两边对求导，得： = +

即[] =

为以为自变量，为未知函数的一阶微分方程，

为便于运算，设 = ， =

则有（） =

=

两边积分得： =

即： =

由此得（*）的参数形式通解：

∵ = = =

=

∴ =

= [] + []

= + +

+ +

= ∣1+∣+ ∣1∣ + +

由此，原方程的通解为

（为参数；， 为任意常数）

参考文献

[1] 王高雄，周之铭.常微分方程（第二版）[M].高教出版社，1983.

[2] 王涛.关于两类二阶隐式常微分方程的解法[J].大学数学，2003.19（4）：64-65.

[3] 胡爱莲，官春梅.几类阶常微分方程的解法[J].喀什师范学院学报，2004.25（6）：17-18.