常微分方程课程分阶段教学研究

李新服+张广

摘 要 针对常微分方程课程的特点及授课存在的问题，采取分阶段教学，即把教学过程分为基础知识讲解、综合题讲解、实际案例讲解、学生讲解四个阶段，并在各个阶段授课中强调科学思考方法的渗透，旨在提高学生分析问题、解决问题、自主研究与创新的能力。

关键词 常微分方程；分阶段教学；数学建模

中图分类号：G642.0 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2016）22-0080-03

Research on Staged Teaching of Course Ordinary Differential Equations//LI Xinfu， ZHANG Guang

Abstract In this paper， according to the features of the course Ordi-nary Differential Equations and the problems in the procedure of tea-

ching， we divide the teaching process for this course into four stages：

basic knowledge explanation， comprehensive title explanation， ac-

tual case explanation and students explain. In each stage the scientific

thinking methods are emphasized in order to improve the students ability to analyze and solve problems， and the ability of independent

research and innovation.

Key words ordinary differential equations； staged teaching； mathe-matical modeling

1 前言

常微分方程课程是数学及相关专业的一门核心课程，其先修课程为数学分析与高等代数。这门课程的特点是知识点较整、应用广泛，学完这门课，学生应该可以试着写科研论文，是本科毕业论文的一个非常好的选题素材。因此，通过常微分方程课程的学习，学生应具备解决问题、自主学习与研究、创新的能力。

但是就笔者讲授这门课程所观察，学生对基础知识运用得不好，自主学习研究能力更不乐观。因此，关于这门课程的教学改革非常重要。在这方面，国内专家已有很多实践经验和理论研究结果[1-4]。在借鉴上述教学方法的基础上，结合常微分方程课程的特点及授课中存在的问题，在教学过程中进行分阶段教学的尝试，并在各个阶段授课中重点培养学生的科学思考能力。

2 常微分方程课程介绍

课程定位与目标 常微分方程属于数学分析的一支，在整个数学大厦中占据重要位置，是定性理论、稳定性理论、动力系统等后续数学研究的基础。常微分方程的研究還与其他学科或领域结合出现各种新的分支，如控制论，种群生态学、分支理论、脉冲微分方程等。常微分方程所研究的模型来自于物理、力学、社会、生物、化学及气象等，是数学中与应用密切相关的学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论与方法，对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。因此，通过常微分方程这门课的学习，学生应具备解决问题、自主学习与研究、创新的能力。

课程教学内容 常微分方程包含的内容很多，不同教材的侧重点有所不同。天津商业大学使用王高雄等编写的教材[5]，主要包括以下内容。

1）一阶微分方程的初等解法：变量分离方程与变量变换、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程与参数表示。

2）一阶微分方程的解的存在定理：解的存在唯一性定理与逐步逼近法、解的延拓、解对初值的连续性和可微性定理、数值解。

3）高阶微分方程：线性微分方程的一般理论、常系数线性微分方程的解法、高阶微分方程的讲解和幂级数解法。

4）线性微分方程组：存在唯一性定理、线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组。

5）非线性微分方程：稳定性、V函数方法、奇点、极限环和平面图貌、分支与混沌、哈密顿方程。

课程教学存在的问题 通过批改作业、答疑、期末考试及学生毕业论文等途径，发现通过常微分方程课程的学习，学生对最基础部分——方程的初等解法掌握还可以，但是对稍有难度、综合性稍强的题目解决得并不好，自主学习研究能力更不乐观。经分析，主要原因有：对方程的初等解法讲解太多，占用太多时间；对理论知识讲解太细太烦琐，掩盖了重点；针对培养学生解决问题与自主学习能力的教学内容设置太少；对日后学习研究较重要的数值解与非线性微分方程部分讲解太少；综合性题目布置较少，没能督促学生及时复习总结，知识形不成系统；布置的习题难度不在学生的学习区，太简单或太难，学生没有成就感。因此，如何在有限的课时内将常微分方程的方法原理、思考方式以学生容易接受的方式讲透彻，让学生会利用所学知识科学地思考问题、解决问题、自主研究，是值得思考的问题。

3 分阶段教学法实施过程

分阶段教学法简介 认知心理学理论认为完整的认知过程是一个“定向—抽取特征—与记忆中的知识相比较”的一系列循环过程，它依赖于来自环境和知觉者自身的知识，而且在人的认知过程中，前后关系很重要，特别是原有知识之间、原有知识和当前认知对象之间的关系[6]。基于这一理论、常微分方程课程的特点及授课存在的问题，将该课程的教学过程划分为4个阶段：

基础知识讲解阶段→综合题讲解阶段→实际案例讲解阶段→学生讲解阶段

分阶段教学法具体实施过程

第一阶段：基础知识讲解。该阶段旨在使学生掌握基本理论与方法，会做简单习题。由教师系统讲授知识点，并针对所讲知识点布置相应习题。

1）对一阶微分方程、高阶微分方程、线性微分方程组的精确解求解部分，针对每种类型讲解方法原理，讲解一个例题，布置一个习题。该部分重点是方法原理。

2）对数值解部分，讲解原理及数学软件求解命令，演示求解操作过程，布置两个习题。同时给学生预留拓展资源供学生自学。该部分重点是会用软件求解。

3）对一阶微分方程解的存在唯一性定理及逐步逼近法一节，重点提炼出证明存在性的逐步逼近法与证明唯一性的方法，避免过多证明细节把学生弄糊涂。同时布置自学任务，如查找其他的存在性定理、唯一性定理并比较，锻炼学生查阅文献的能力。

4）对非线性微分方程一章，重点讲授理论方法，布置相应习题。该部分重点是理解基本理论。

在此阶段，每讲完一章，布置1～2个综合性、一题多种解法或稍有难度的题目，以此来促使学生查阅并总结所学内容，把知识点联系起来。如可布置习题：

②求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

第一阶段科学思考方法渗透举例如下。

1）把问题特殊化的思考方法。举例告诉学生在解决问题时，首先考虑是否能从特殊情况中得到启示。

【例1】求解高阶常系数齐次线性微分方程：

对一阶常系数方程有解x=eat，故猜测高阶微分方程有eλt（λ待定）形式的解。

【例2】求一阶常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵。

其中，A=（aij）n×n为n阶常数矩阵，x=（x1，x2，...，xn）仅含一个方程（n=1）时，基解矩阵为eat，故猜测方程组的基解矩阵为eAt。

2）利用联系，改造区别的思考方法。举例告诉学生想问题时既要利用事物的联系，遇到区别时又不要放弃，适当修正可能会有意外发现。

【例】已经学过n阶常系数齐次线性微分方程的解法，知道若α为特征方程λn+an-1λn-1+...a1λ+a0=0的单特征根，eαt是微分方程的解；若β为特征方程的k重特征根，eβt，teβt，t2eβt，...，

tk-1eβt是微分方程的k个线性无关解。在求解一阶常系数齐次线性微分方程组的线性无关解时，利用两个方程的联系，是否有类似结论呢？

经验证，若α为系数矩阵A的单特征根，微分方程组有eαtη形式的解，其中η为对应α的特征向量；若β为系数矩阵A的k重特征根，eβtη0，teβtη1，t2eβtη2，...，tk-1eβtηk-1并不是微分方程组的k个线性无关解。

那么能否改造一下呢？可以验证其组合eβtη0+teβtη1+

t2eβtη2+...+tk-1eβtηk-1（ηi满足一定条件）为微分方程组的解[7]。

第二阶段：综合题讲解。该阶段讲解第一阶段布置的题目，旨在帮助学生梳理所学知识，教会学生如何思考问题。并布置几个题目作为练习。

该阶段科学思考方法渗透举例如下。

1）复杂简单化的思考方法。通过举例告诉学生，遇到解法比较复杂的时候，要试着想想是否有简单或是简洁的解法。

【例】求解方程

这是可转化为分离变量方程的典型类型，大多数学生（几乎全部）利用标准做法。

首先求交点 ，解得：

作变换，原方程转化为齐次方程

。作变换Z=Y/X，则齐次方程转化为分离变量方程。

解分离变量方程得：Z2-Z+1=cX-2。代回原来变量，得原方程通解：y2+x2-xy-y+x=c。

可見上述解法较麻烦，要适时引导学生找简单的解法。下面利用恰当微分方程解法：原方程变形为（x-2y+1）dy-（2x-y+1）dx=0，整理得xdy+ydx-2ydy+dy-2xdx-dx=0，分组凑微分得通解xy-y2+y-x2-x=c。可见关于此题，第二种解法非常简单。

2）问题层层剪剥、各个击破的思考方法。通过举例，告诉学生遇到问题不知如何下手时，不要慌张，静下心来查找资料，把问题分解，分别解决每个小问题。

【例】求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

这是一个二阶变系数齐次线性微分方程，学生一般会想到广义幂级数解法，经求解发现很麻烦。引导学生换种解法，查阅课本发现关于这类方程的降阶法，但是需要事先找到方程的一个非零解，如何求？引导学生通过查阅文献、网上搜索等途径查找答案，发现课本课后题有要找的答案，从而问题得到解决。

第三阶段：实际案例讲解。该阶段详细讲解两个案例，一个是常微分方程数学建模案例，一个是常微分方程科研论文案例，旨在让学生观摩科学分析与自主研究的过程。选取一个建模案例，详细讲解分析问题、建立模型、利用理论知识分析并用数学软件求解、对所得结果进行分析、对模型进行合理评价及进一步优化的一系列过程。根据自己写科研论文的过程，讲解发现问题、查文献、解决问题、撰写科研论文的整个过程。

第四阶段：学生讲解。该阶段旨在提高学生分析问题解决问题、自主研究的能力。该阶段是第三阶段的一个实训，主要由学生自己来完成。学生根据兴趣自由分组，从题库中选题或自由选题，利用几周的时间完成题目。学生讲解，教师点评。题库由教师查阅资料分类整理完成。

4 结语

以上是针对常微分方程这门课程的特点及授课中存在的问题而采取的以培养学生能力为目的的分阶段教学的授课方式。在讲完常微分方程这门课后，把上述想法与班级里几个学习中上等的学生进行探讨，学生一致认为很好，因此下学期准备尝试此授课方式，以期达到良好的教学效果。参考文献

[1]韩祥临，欧阳成.《常微分方程》精品课程的教学改革与教学实践[J].湖州职业技术学院学报，2012（1）：8-11.

[2]刘会民，那文忠，陶凤梅.“常微分方程”课程教学模式的改革与探索[J].数学教育学报，2006（1）：72-74.

[3]何春花，郑群珍，姬利娜.常微分方程课程教学改革的探索与实践[J].河南教育学院学报：自然科学版，2014（2）：

68-69.

[4]万亮.常微分方程的解法与教学改革[J].科技创新与应用，2013（4）：277.

[5]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[6]王尊亮，卞佳丽.网络编程技术课程分阶段教学策略[J].计算机教育，2013（24）：41-44.

[7]丁同仁，李承治.常微分方程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.