整体化数学思想在高考试题中的应用

刘长伟

数学思想、方法是数学中的精髓，是联系数学中各类知识的纽带。学生一旦掌握了这些思想和方法，将会终身受益。因此在数学教学中，人们越来越感觉到渗透数学思想的重要性，因为这是对数学本质上的认识。虽然数学离不开解题，但解题并不是数学教育的全部，根据新课程理念，学习数学要掌握数学的本质，掌握数学思想，学会用数学的眼光去看问题，用数学的思想去分析问题、解决问题。整体化思想是一种很重要的数学思想，是一种从宏观的的角度来审视问题、解决问题的思想。下面就通过一些典型的高考数学试题的解析感悟一下整体化数学思想的魅力。

一、集合问题中的正难则反法或补集法

集合这个概念本身就具有整体性，某些确定的、不同的对象的全体就构成一个集合。集合的性质也是集合中全体元素具有的性质，集合论所体现出来的整体思想在解题中可以带来许多便捷，集合论的思想方法已经渗透到数学的许多分支，从整体上推动了数学的发展。

例1：（2011年江苏高考试题）设集合，A={（x，y）|■≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠？覫则实数m的取值范围是_________。

分析：当m≤0时，集合A是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆，当m>0时，集合A是以（2，0）为圆心，以■和m为半径的圆环。集合B是在两条平行线之间的区域。若从题的条件出发，用直接方法解此题要分三种情况，还要考虑题本身的隐含条件，情况多，学生容易出错，若从问题的反面即A∩B=？覫来考虑此题，只需分如图（1）的两种情况，减少计算量有助于学生准确答题。简解如下：

1.A=？覫，即■>m2，解得0

2.A≠？覫，则m≤0或m≥■。从图象上看A∩B≠？覫就是两个集合所表示的区域没有重合部分，而由l1，l2直线方程可知l1必在l2的下方，故可得如图（1）所示的两种情况。

■

可得：（1）■>|m|？圯m>2+■或m<2-■，由图易知取m>2+■；

（2）■>|m|？圯m>■或m<■；

再由A≠？覫，故m≤0。

由（1），（2）可知，当A∩B=？覫？圯m<■或m>2+■；所以A∩B≠？覫？圯■≤m≤2+■；

评注：上面的解法是间接求法，解题过程简洁，类似的一些问题若用直接法解题可能就会陷入烦琐计算的泥潭中，分类太多了，学生出错的概率大，遇到此类情况，“正难则反”这种间接解决问题的整体化思想便显示出它的优越性。

二、立体几何中的补形法或补体法

利用补形法或补体法的关键，是敢于挣脱思想上无形的牢笼，突破思维定势的束缚，正确地看待整体与局部的辩证关系，善于扩展思维的空间，通过恰当的补形、补体，从宏观、整体的角度来思索和处理问题。

例2：（1997年全国高考试题）如右图（2），在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点。设AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的体积。

解：取AB的中点G，CC1的中点M，连接MD1、GE、EF、GA1、GF、ME、MF，则补成三棱柱A1GE-D1MF是直三棱柱，可求得S■=■，故V■=V■=V■=■V■=■×■×2=1。

评注：补形法的基本解题思路：认清原图形（几何体）的形体结构，联想此几何图形（几何体）拓展后整体结构图形，再从整体图形（几何体）中重新认识原几何图形，利用整体结构图形（几何体）寻找、发现解题思路。

三、线性规划中的目标函数法

线性规划是数学规划中理论比较完整、方法比较成熟、应用比较广泛的一个分支，通过线性规划的学习，使学生进一步了解数学在实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣，应用数学的意识和解决实际问题的能力。从近几年高考试题来看，对线性规划问题的考查综合程度变得越来越高，应该引起足够的重视。

例3：（2012年江苏高考试题）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则■的取值范围是 。

略解：令■=x，

y=■，

条件就转

化为：3x+y≥5x+y≤4y≥exx>0，y>0

求■的取值范围。由线性规划知识，做出（x，y）所在的平面区域（如图3），求出y=ex的切线为y=ex且易判断切点P（1，e）在区域顶点A，B之间，故易求出■的范围为[e，7]。

评注：线性规划是高中数学的重要内容，它是整体化思想与数形结合思想的应用典范。线性规划中不论是线性区域还是目标函数都体现了从整体来考虑问题的一种“整体化”的思想。另外，由于目标函数的多样性和隐蔽性，把要解决的问题化归为线性规划问题是此类问题的一个难点，而能够顺利识别目标函数的几何意义是此类问题的另一个难点，也是能够正确解决问题的关键。

四、解析几何

（一）设而不求法

“设而不求”的方法，在解析几何中是很常见的一种方法，其本质就是在整体化思想的指导下，根据题设条件与结论的结构特点，设法绕过烦难的计算，寻求简洁、巧妙的通道，达到“曲径通幽”效果。

例4：（2012年辽宁理科高考试题）如图（4），椭圆C0：■+■=1（a>b>0，a，b为常数），动圆C1：x2+y2=t12，b

（1）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；

（2）设动圆C2：x2+y2=t22与C0相交于A1，B1，C1，D1四点，其中b

解：（1）设A（x1，y1），B（x1，-y1），又知A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为y=■（x+a）①，直线A2B的方程y=■（x-a）②，由①②得y2=■（x2-a2）③，由点A（x1，y1）在椭圆C0上，故■+■=1，从而y12=b2（1-■）代入③得■+■=1（x<-a，y<0）

（2）证明：设At（x2，y2），由矩形ABCD矩形A1B1C1D1的面积相等，得：4|x1||y1|=4|x2||y2|，故x12y12=x22y22，因为点A，A1均在椭圆上，所以b2x12（1-■）=b2x22（1-■）。

由t1≠t2，知x1≠x2，x12+x22=a2，从而y12+y22=b2，因此t12+t22=a2+b2为定值。

点评：本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题综合性较强，运算量较大。可利用“设而不求”的方法整体考虑问题，设点而不求点，是从问题的结构、形式上做巧妙的变化，探寻出结论从而解决问题。“设而不求”法是解析几何之中的一种重要的数学方法，但运用此法一定要注意对解题过程的检验，以免出现多解。

（二）利用曲线系解题

如果两条曲线的方程是：f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，它们的交点是P（x0，y0），则方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0的曲线是经过定点P的曲线系方程，利用或构造这个方程解题，可以使某些问题的求解得以简化，利用曲线系来解题也是整体化思想的一个体现。

例5：（2011全国高考试题）如图（5），已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+■=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-■的直线l与C交与A、B两点，点P满足OA+OB+OP=0。

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的

对称点为Q，证明：A、P、B、Q

四点在同一圆上。

（Ⅰ）由题意易得P（-■，

-1）满足椭圆方程，所以点P在椭圆C上。

（Ⅱ）分析：此问题的证明通常有两种思路。思路一：证明∠APB，∠AQB互补。通过证明这两个角的正切值互为相反数即可，在求正切值时要注意利用倒角公式。思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、P、B、Q的距离相等即可。上面的两种思路是常规解法，但解题过程较繁，需要学生有很好的计算能力及恒等变形能力。下面从另一个角度利用曲线系这个整体化思想来解此题。

（Ⅱ）由P，Q关于原点O对称，故Q（■，1），易得直线PQ的方程：■x-y=0。直线AB的方程：■x+y-1=0。所以曲线C1：（■x-y）（■x+y-1）=0表示直线PQ和AB，又椭圆C：2x2+y2-2=0，所以经过A、P、B、Q四点的曲线方程是：（2x2+y2-2）+λ（■x-y）（■x+y-1）=0。整理为：（2+2λ）x2+（1-λ）y2-■λx+λy-2=0（*），若方程（*）表示圆，则2+2λ=1-λ，∴λ=-■。此时方程（*）为：（x+■）2+（y-■）2=■。因此A、P、B、Q四点在同一个圆上，且圆的方程为：（x+■）2+（y-■）2=■。

评注：过两条直线交点的直线系方程，过直线与圆的交点以及过两个圆的交点的圆系方程，及圆锥曲线系方程，利用“曲线系”这整体化思想在解决有关直线与直线及直线与圆、圆与圆或直线与圆锥曲线的问题中，有时起到化难为易，化繁为简的作用。往往会给人一种耳目一新的感觉。

通过上述几例高考试题的解析，我们不难感受到整体化数学思想在解决数学问题中的重要作用。数学方法往往都是数学思想的产物，数学方法要靠数学思想来指导，只有有了正确的数学思想，才会产生有效的数学方法。因此教师应该把思想渗透贯穿于自己平时的教学之中，在平时的课堂教学中注重提炼典型问题中的重要的数学思想。这是数学精髓和本质的东西。（责任编辑：张华伟）endprint

解：（1）设A（x1，y1），B（x1，-y1），又知A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为y=■（x+a）①，直线A2B的方程y=■（x-a）②，由①②得y2=■（x2-a2）③，由点A（x1，y1）在椭圆C0上，故■+■=1，从而y12=b2（1-■）代入③得■+■=1（x<-a，y<0）

（2）证明：设At（x2，y2），由矩形ABCD矩形A1B1C1D1的面积相等，得：4|x1||y1|=4|x2||y2|，故x12y12=x22y22，因为点A，A1均在椭圆上，所以b2x12（1-■）=b2x22（1-■）。

由t1≠t2，知x1≠x2，x12+x22=a2，从而y12+y22=b2，因此t12+t22=a2+b2为定值。

点评：本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题综合性较强，运算量较大。可利用“设而不求”的方法整体考虑问题，设点而不求点，是从问题的结构、形式上做巧妙的变化，探寻出结论从而解决问题。“设而不求”法是解析几何之中的一种重要的数学方法，但运用此法一定要注意对解题过程的检验，以免出现多解。

（二）利用曲线系解题

如果两条曲线的方程是：f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，它们的交点是P（x0，y0），则方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0的曲线是经过定点P的曲线系方程，利用或构造这个方程解题，可以使某些问题的求解得以简化，利用曲线系来解题也是整体化思想的一个体现。

例5：（2011全国高考试题）如图（5），已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+■=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-■的直线l与C交与A、B两点，点P满足OA+OB+OP=0。

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的

对称点为Q，证明：A、P、B、Q

四点在同一圆上。

（Ⅰ）由题意易得P（-■，

-1）满足椭圆方程，所以点P在椭圆C上。

（Ⅱ）分析：此问题的证明通常有两种思路。思路一：证明∠APB，∠AQB互补。通过证明这两个角的正切值互为相反数即可，在求正切值时要注意利用倒角公式。思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、P、B、Q的距离相等即可。上面的两种思路是常规解法，但解题过程较繁，需要学生有很好的计算能力及恒等变形能力。下面从另一个角度利用曲线系这个整体化思想来解此题。

（Ⅱ）由P，Q关于原点O对称，故Q（■，1），易得直线PQ的方程：■x-y=0。直线AB的方程：■x+y-1=0。所以曲线C1：（■x-y）（■x+y-1）=0表示直线PQ和AB，又椭圆C：2x2+y2-2=0，所以经过A、P、B、Q四点的曲线方程是：（2x2+y2-2）+λ（■x-y）（■x+y-1）=0。整理为：（2+2λ）x2+（1-λ）y2-■λx+λy-2=0（*），若方程（*）表示圆，则2+2λ=1-λ，∴λ=-■。此时方程（*）为：（x+■）2+（y-■）2=■。因此A、P、B、Q四点在同一个圆上，且圆的方程为：（x+■）2+（y-■）2=■。

评注：过两条直线交点的直线系方程，过直线与圆的交点以及过两个圆的交点的圆系方程，及圆锥曲线系方程，利用“曲线系”这整体化思想在解决有关直线与直线及直线与圆、圆与圆或直线与圆锥曲线的问题中，有时起到化难为易，化繁为简的作用。往往会给人一种耳目一新的感觉。

通过上述几例高考试题的解析，我们不难感受到整体化数学思想在解决数学问题中的重要作用。数学方法往往都是数学思想的产物，数学方法要靠数学思想来指导，只有有了正确的数学思想，才会产生有效的数学方法。因此教师应该把思想渗透贯穿于自己平时的教学之中，在平时的课堂教学中注重提炼典型问题中的重要的数学思想。这是数学精髓和本质的东西。（责任编辑：张华伟）endprint

解：（1）设A（x1，y1），B（x1，-y1），又知A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为y=■（x+a）①，直线A2B的方程y=■（x-a）②，由①②得y2=■（x2-a2）③，由点A（x1，y1）在椭圆C0上，故■+■=1，从而y12=b2（1-■）代入③得■+■=1（x<-a，y<0）

（2）证明：设At（x2，y2），由矩形ABCD矩形A1B1C1D1的面积相等，得：4|x1||y1|=4|x2||y2|，故x12y12=x22y22，因为点A，A1均在椭圆上，所以b2x12（1-■）=b2x22（1-■）。

由t1≠t2，知x1≠x2，x12+x22=a2，从而y12+y22=b2，因此t12+t22=a2+b2为定值。

点评：本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题综合性较强，运算量较大。可利用“设而不求”的方法整体考虑问题，设点而不求点，是从问题的结构、形式上做巧妙的变化，探寻出结论从而解决问题。“设而不求”法是解析几何之中的一种重要的数学方法，但运用此法一定要注意对解题过程的检验，以免出现多解。

（二）利用曲线系解题

如果两条曲线的方程是：f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，它们的交点是P（x0，y0），则方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0的曲线是经过定点P的曲线系方程，利用或构造这个方程解题，可以使某些问题的求解得以简化，利用曲线系来解题也是整体化思想的一个体现。

例5：（2011全国高考试题）如图（5），已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+■=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-■的直线l与C交与A、B两点，点P满足OA+OB+OP=0。

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的

对称点为Q，证明：A、P、B、Q

四点在同一圆上。

（Ⅰ）由题意易得P（-■，

-1）满足椭圆方程，所以点P在椭圆C上。

（Ⅱ）分析：此问题的证明通常有两种思路。思路一：证明∠APB，∠AQB互补。通过证明这两个角的正切值互为相反数即可，在求正切值时要注意利用倒角公式。思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、P、B、Q的距离相等即可。上面的两种思路是常规解法，但解题过程较繁，需要学生有很好的计算能力及恒等变形能力。下面从另一个角度利用曲线系这个整体化思想来解此题。

（Ⅱ）由P，Q关于原点O对称，故Q（■，1），易得直线PQ的方程：■x-y=0。直线AB的方程：■x+y-1=0。所以曲线C1：（■x-y）（■x+y-1）=0表示直线PQ和AB，又椭圆C：2x2+y2-2=0，所以经过A、P、B、Q四点的曲线方程是：（2x2+y2-2）+λ（■x-y）（■x+y-1）=0。整理为：（2+2λ）x2+（1-λ）y2-■λx+λy-2=0（*），若方程（*）表示圆，则2+2λ=1-λ，∴λ=-■。此时方程（*）为：（x+■）2+（y-■）2=■。因此A、P、B、Q四点在同一个圆上，且圆的方程为：（x+■）2+（y-■）2=■。

评注：过两条直线交点的直线系方程，过直线与圆的交点以及过两个圆的交点的圆系方程，及圆锥曲线系方程，利用“曲线系”这整体化思想在解决有关直线与直线及直线与圆、圆与圆或直线与圆锥曲线的问题中，有时起到化难为易，化繁为简的作用。往往会给人一种耳目一新的感觉。

通过上述几例高考试题的解析，我们不难感受到整体化数学思想在解决数学问题中的重要作用。数学方法往往都是数学思想的产物，数学方法要靠数学思想来指导，只有有了正确的数学思想，才会产生有效的数学方法。因此教师应该把思想渗透贯穿于自己平时的教学之中，在平时的课堂教学中注重提炼典型问题中的重要的数学思想。这是数学精髓和本质的东西。（责任编辑：张华伟）endprint