巧借几个“互变” 用活课后习题

丁玉成

课堂练习是小学课堂教学的重要组成部分，巩固基础知识，提高基本技能，发展数学思考力是课堂练习所承载的基本任务与功能。常态课练习利用率最高的是课后习题，如果教师在精心研读习题、理解编者意图情况下，挖掘习题资源，创造性地将某些习题进行整合、补充、延伸、拓展，用足用好教材，就会增强课堂练习的实效功能。

本文试以人教版五年级图形与几何领域的测量内容为载体，通过几种不同方式的互变对课后习题进行变式利用，优化习题利用效果。

一、“顺”“逆”互变，凸显计算本质

新课标在内容标准中对图形的面积、体积、表面积等计算方法都提出了“探索并掌握计算方法、解决简单实际问题”的要求。在计算公式得出之前，教师应注重过程性教学，引领学生经历公式的探索、得出过程。在应用公式解决问题时，不仅仅停留在顺向的应用公式计算中，可以“顺逆”互变，偶尔适时回顾公式的由来与计算的本质。

如右图是数学教材（五年级上）长方体、正方体体积计算一课的做一做，学生轻松完成了体积计算后，老师可让学生回顾体积计算公式的由来：长方体中的8cm、3cm、4cm分别表示什么？将长、宽、高与体积单位摆放的横排个数、竖排个数、层数相联系，课件出示长、宽、高三条棱上所摆的体积单位，让学生联想全部摆满的样子，之后电脑出示全部铺满画面，最后分三步全部隐去：留下长宽高上所摆的方块→隐去方块留下所摆个数的痕迹→只剩下长方体框架。这样的过程，既是对长方体计算公式由来的回顾，又能使学生在今后求长方体体积时不仅仅停留在对公式的简单应用，也能在头脑中反应出体积单位摆放的形态。

又如右图是“梯形面积计算”一课的练习（P90），先思考并讨论在不知道上底下底各是多少的情况下，如何计算面积？突破学生对“梯形面积=（上底+下底）×高÷2”的机械认识，明确梯形的上下底之和可以看作一个整体。此时可以再现梯形面积计算公式的由来，将两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，让学生直观体验上下底之和是一个整体的理由。之后对此题进行改编，变顺为逆：已知梯形的面积是3000平方米，如果只能量出其中一条底边，你认为应该测量哪一条底边？为什么？若这条底边是15米，你能算出篱笆的总长吗？这样变式，不直接给出高，促使学生思考“高”在梯形面积计算中是一个独立的数据，在顺势，逆势的递进训练中，进一步完善学生思维和提高学生解决问题的能力。

再如下图是数学教材（五年级上）组合图形面积一课的练习（P94），两题图形形状相同，只是给出的条件不同，都可以用不同的方法计算。如果两道题都让学生用自己喜欢的方法解决，一方面有重复感，另一方面花时较多，学生可能会因为较高的计算强度造成感官疲劳，引起厌烦情绪。所以适当改变呈现方式往往能收到较好的效果。可以先让学生独立计算第2题，反馈后理解几种算法的思路。之后出示改编后的第1题：出示ABC三种算法，每一种算法分别是怎么分割的？请你添加辅助线，并解释解题思路。学生凭借做第2题所积累的经验，变顺向思维为逆向思维，从“算式”这个终点反射到“添加辅助线”的起点，改变了习题训练方式，凸显解题思路，减轻计算负担，在有限的时间里充分展示了学生思维的灵活性和多样性，达到了预定效果。

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A.（45+60）×15÷2×2

B.45×30+15×15÷2×2

C.60×30-30×15÷2

对于练习中大量思维含量重复的计算题，教师可以在练习重点不变的情况下适当处理，如改变具体数据、改变解答要求、改变呈现方式等。有的题则可以通过顺逆互变，达到知其然也知其所以然的目的，提升学生的思维和解题能力。

二、“静”“动”互变，激活空间想象

教材上的习题都以静态呈现，图形与几何块知识很多需要空间想象，信息呈现方式的多样化能助力学生的空间想象，加强在心理上操作、旋转、翻转等能力。把习题信息和解决过程中的思考以动态方式演示，能激活学生的空间想象能力。

如数学教材（五年级下）（P37），长方体表面积计算练习课中第9题，红色油漆的面积比较难算，一般做法是上面三个正方形依次加上左右4个面。巧妙的做法可将左右面拼接，1号露出的左面和2号的左面可以拼成一个长方形，1号露出的右面和3号右面也可以拼成一个长方形，而这两个长方形刚好是1号的整个左右面，如果学生空间想象成功的话，红色油漆面积就成了3个40×40的正方形和两个40×65的长方形面积总和。还有一种更巧妙的做法是将红色油漆面看成是一张纸糊在上面，将红色油漆表面剥离颁奖台，然后拉直，就成了一个“长55+40+10+40+25+40+40=250厘米、宽40厘米”的长方形，这个过程能想象到的学生就更少了。两种巧妙算法教师如果配以实物演示或课件演示，将过程清楚地展示，对想象已经成功的学生是一种回放式的验证，对未想象成功的学生是一次想象经验的积累。

又如右图是数学教材（五年级下）总复习中的一道题，计算盒子用了多少铁皮时，学生喜欢用长方形面积减去四个正方形面积来算，但解决容积问题时必须进行空间想象，将平面图想象成长方体无盖容器，之后找到相应的长、宽、高进行计算。这道题可以让有困难的学生动手操作，也可以课件演示折成长方体的过程，让学生观察长方体的长宽高与原平面图给出信息之间的关系。解决完这道题后，可以追加一道题：（再出示一个长方形）一块长方形铁皮，长50cm、宽30cm，要将它做成一个深5cm的无盖容器，做成后的容器表面积和容积各是多少？有了上题的经验，学生就有了想象的经验，比较两题图形的差别，不难发现容器的深度5cm就是该剪去正方形的边长。当然，在学生想象、描述过后，动态的演示必不可少。

对脱离动态演示想象图形的形状、关系的空间想象力的培养是一个逐步的过程，教师在习题分析中若能关注对学生想象能力的培养，化“静”为“动”，学生的想象经验会随着时间和次数的积累越来越丰厚。endprint

三、“显”“隐”互变，寻求图形关联

数学的学习强调知识间的相互联系，有句话说得好：知识不在于多而在于联。学生所学的知识能互相联系、相互贯通，这样建立起来的知识结构就更加牢固。在测量教学中，教师引导学生从具体、直观、显性的图形计算中发现图形与图形之间隐性的关联，或者把数学思想方法从具体教学内容中抽象出来，将能培养学生用联系的眼光看待事物的能力。

此题是数学

教材（五年级上）

“多边形单元复

习”中的一道题，通过测量计算长方形、平行四边形、梯形和三角形的面积，复习巩固各种图形面积计算公式。复习巩固阶段，对习题的处理与设置，应注重让学生在解决一个具体问题时，把所学的知识串联起来，既起到复习巩固的作用，又能让学生获得新的收获。在高相等的条件下，通过比较面积，加深学生对图形面积与底和高关系的认识，进一步加深对计算公式的理解。笔者认为还可以继续在此题上做文章，第三个梯形的上下底分别是1cm和1.6cm，让学生思考，当梯形上底变成1.6cm时，想想是什么图形，再列式计算。反馈时会出现变成了长方形和平行四边形两种情况，也会出现两种列式法：1.6×2和（1.6+1.6）×2÷2，第一种列式是学生根据想象后的新图形计算公式算的，第二种还是根据梯形面积计算公式算，比较分析两种算法，从而发现平行四边形面积可以用梯形面积公式来算。继续思考当梯形上底不断变短最终为0时，成了什么图形？列式计算面积，同样出现两种算法：1.6×2÷2和（0+1.6）×2÷2，此时，学生恍然大悟，在几种不同平面图形的不同面积计算方法的显性表象背后，还藏着这么隐蔽的紧密联系，梯形面积计算公式可以用来算长方形、平行四边形和三角形的面积。

又如数学教材（五年级下）”长方体表面积计算“的练习中有一道选做题，此题看图数相应要求的正方体块数，需要学生有较好的空间想象力，由于学生玩过魔方，此大正方体就是一个三阶魔方，学生通过观察，能数出正确个数，但思维层面没有很好得到锻炼。如果此时类推到由64个小正方体和125个小正方体搭成的大正方体的涂色问题，学生一定会懵了。我认为在得到正确结果后，可以组织学生观察三面涂色的小正方体的位置，由此联想到与正方体的顶点位置有关，依次发现一面涂色的小正方体的位置与面有关，二面涂色的小正方体位置与棱有关。当隐含的规律与显性的小正方形个数联系起来时，学生就能建立起模型。64个、125个小正方体搭成的大正方体的涂色问题只需先考虑一层的涂色情况，再与面、棱、顶点的数量相结合，问题的解决就变得有条有理了。

教师在教学中深度挖掘隐性因素，使显性知识与隐性知识巧妙、紧密联系，将隐性知识显性化，真正为学生所领悟，这对于图形教学中培养学生的各方面能力是很有帮助的。

四、“一”“类”互变，思维适度延展

很多练习题，本质上存在着相关性、相似性，却不易被学生察觉，如果在练习中教师是个有心人，就会将一系列相关的类型进行对比整合，拓宽学生的解题思路，这样就能达到“练一题，带一串”的教学效果，实现思维的延展。

比如应用“等底等高的平行四边形面积相等、等底等高的三角形面积相等、等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半”的知识能解决很多难易不同的题，教材在平行四边形和三角形面积计算教学后的练习中都有安排此类问题。在教学中教师就要注意整合、类比、拓展。右图两题是“三角形面积计算”后的练习，通过第6题的练习，学生除了知道等底等高的三角形面积相等外，还要知道两个相同面积的三角形去掉公共部分，剩余面积相等，即上面两个小三角形面积相等。第7题除了连接三角形三条边的中点，形成的4个三角形面积相等，还可以将三角形任一边平均分成4段，把各分点与对应顶点连接成4个面积相等的三角形。这样分的理由就是四个三角形等底等高。第9题虽是选做题，但学生若是能联想到用等底等高的知识来解决，这道题便很简单了。

教材中的题还算简单，教师可以适当补充同类题，看似复杂，却可以应用“等底等高”知识来解决，让学生的解题思维更开阔。

■

如上图两题都是求阴影部分的面积（单位：cm），第1题学生想到最多的是通过直角三角形求出梯形的高，再用梯形面积减去三角形面积得到阴影部分面积。教师应引导学生添加辅助线，用“等底等高”的知识说明两个阴影三角形可以转化成一个三角形（如图），只要直接求一个底是4cm、高是2.4cm的三角形面积。第2题的阴影部分看似很难，找不到相关信息，也能通过“等底等高”的知识发现平行四边形和长方形面积相等，而去掉一个公共三角形后，剩余部分面积相等，求阴影部分的面积就转化为求“上下底是2、8，高为12”的梯形面积。

再如右图，已知三角形

ABC的面积为64平方厘米，

是平行四边形DEFC面积的

2倍，求阴影部分面积。阴影部分是个三角形，与平行四边形等底等高，面积存在2倍关系，因此阴影部分的面积就是三角形面积的四分之一。

深刻挖掘练习题的相关功能，由一组题延伸出一连串相似性问题，使学生在对比分析的基础上形成灵活解决问题的技能，使看似无法解决的问题轻松得到解决，达到解一题通一类的目的。

以上例举的只是数学教材（五年级上下册）图形与几何领域测量内容中的一部分习题的变式利用，图形与几何内容还包括图形的认识、图形的运动、图形与位置等，由于教学内容各异，变式训练的途径和方法也远不止以上例举的四种，我们可以结合习题的特征和学生的认知情况，在学生的“最近发展区”从不同的角度加以变式处理，以发展学生的空间观念为关注点，最大限度地发掘习题的训练价值，相信通过我们有意识地培养，学生的空间观念能得到更有效发展，实现从计算几何走向观念几何的转变。

（责任编辑：李雪虹）endprint

三、“显”“隐”互变，寻求图形关联

数学的学习强调知识间的相互联系，有句话说得好：知识不在于多而在于联。学生所学的知识能互相联系、相互贯通，这样建立起来的知识结构就更加牢固。在测量教学中，教师引导学生从具体、直观、显性的图形计算中发现图形与图形之间隐性的关联，或者把数学思想方法从具体教学内容中抽象出来，将能培养学生用联系的眼光看待事物的能力。

此题是数学

教材（五年级上）

“多边形单元复

习”中的一道题，通过测量计算长方形、平行四边形、梯形和三角形的面积，复习巩固各种图形面积计算公式。复习巩固阶段，对习题的处理与设置，应注重让学生在解决一个具体问题时，把所学的知识串联起来，既起到复习巩固的作用，又能让学生获得新的收获。在高相等的条件下，通过比较面积，加深学生对图形面积与底和高关系的认识，进一步加深对计算公式的理解。笔者认为还可以继续在此题上做文章，第三个梯形的上下底分别是1cm和1.6cm，让学生思考，当梯形上底变成1.6cm时，想想是什么图形，再列式计算。反馈时会出现变成了长方形和平行四边形两种情况，也会出现两种列式法：1.6×2和（1.6+1.6）×2÷2，第一种列式是学生根据想象后的新图形计算公式算的，第二种还是根据梯形面积计算公式算，比较分析两种算法，从而发现平行四边形面积可以用梯形面积公式来算。继续思考当梯形上底不断变短最终为0时，成了什么图形？列式计算面积，同样出现两种算法：1.6×2÷2和（0+1.6）×2÷2，此时，学生恍然大悟，在几种不同平面图形的不同面积计算方法的显性表象背后，还藏着这么隐蔽的紧密联系，梯形面积计算公式可以用来算长方形、平行四边形和三角形的面积。

又如数学教材（五年级下）”长方体表面积计算“的练习中有一道选做题，此题看图数相应要求的正方体块数，需要学生有较好的空间想象力，由于学生玩过魔方，此大正方体就是一个三阶魔方，学生通过观察，能数出正确个数，但思维层面没有很好得到锻炼。如果此时类推到由64个小正方体和125个小正方体搭成的大正方体的涂色问题，学生一定会懵了。我认为在得到正确结果后，可以组织学生观察三面涂色的小正方体的位置，由此联想到与正方体的顶点位置有关，依次发现一面涂色的小正方体的位置与面有关，二面涂色的小正方体位置与棱有关。当隐含的规律与显性的小正方形个数联系起来时，学生就能建立起模型。64个、125个小正方体搭成的大正方体的涂色问题只需先考虑一层的涂色情况，再与面、棱、顶点的数量相结合，问题的解决就变得有条有理了。

教师在教学中深度挖掘隐性因素，使显性知识与隐性知识巧妙、紧密联系，将隐性知识显性化，真正为学生所领悟，这对于图形教学中培养学生的各方面能力是很有帮助的。

四、“一”“类”互变，思维适度延展

很多练习题，本质上存在着相关性、相似性，却不易被学生察觉，如果在练习中教师是个有心人，就会将一系列相关的类型进行对比整合，拓宽学生的解题思路，这样就能达到“练一题，带一串”的教学效果，实现思维的延展。

比如应用“等底等高的平行四边形面积相等、等底等高的三角形面积相等、等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半”的知识能解决很多难易不同的题，教材在平行四边形和三角形面积计算教学后的练习中都有安排此类问题。在教学中教师就要注意整合、类比、拓展。右图两题是“三角形面积计算”后的练习，通过第6题的练习，学生除了知道等底等高的三角形面积相等外，还要知道两个相同面积的三角形去掉公共部分，剩余面积相等，即上面两个小三角形面积相等。第7题除了连接三角形三条边的中点，形成的4个三角形面积相等，还可以将三角形任一边平均分成4段，把各分点与对应顶点连接成4个面积相等的三角形。这样分的理由就是四个三角形等底等高。第9题虽是选做题，但学生若是能联想到用等底等高的知识来解决，这道题便很简单了。

教材中的题还算简单，教师可以适当补充同类题，看似复杂，却可以应用“等底等高”知识来解决，让学生的解题思维更开阔。

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如上图两题都是求阴影部分的面积（单位：cm），第1题学生想到最多的是通过直角三角形求出梯形的高，再用梯形面积减去三角形面积得到阴影部分面积。教师应引导学生添加辅助线，用“等底等高”的知识说明两个阴影三角形可以转化成一个三角形（如图），只要直接求一个底是4cm、高是2.4cm的三角形面积。第2题的阴影部分看似很难，找不到相关信息，也能通过“等底等高”的知识发现平行四边形和长方形面积相等，而去掉一个公共三角形后，剩余部分面积相等，求阴影部分的面积就转化为求“上下底是2、8，高为12”的梯形面积。

再如右图，已知三角形

ABC的面积为64平方厘米，

是平行四边形DEFC面积的

2倍，求阴影部分面积。阴影部分是个三角形，与平行四边形等底等高，面积存在2倍关系，因此阴影部分的面积就是三角形面积的四分之一。

深刻挖掘练习题的相关功能，由一组题延伸出一连串相似性问题，使学生在对比分析的基础上形成灵活解决问题的技能，使看似无法解决的问题轻松得到解决，达到解一题通一类的目的。

以上例举的只是数学教材（五年级上下册）图形与几何领域测量内容中的一部分习题的变式利用，图形与几何内容还包括图形的认识、图形的运动、图形与位置等，由于教学内容各异，变式训练的途径和方法也远不止以上例举的四种，我们可以结合习题的特征和学生的认知情况，在学生的“最近发展区”从不同的角度加以变式处理，以发展学生的空间观念为关注点，最大限度地发掘习题的训练价值，相信通过我们有意识地培养，学生的空间观念能得到更有效发展，实现从计算几何走向观念几何的转变。

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三、“显”“隐”互变，寻求图形关联

数学的学习强调知识间的相互联系，有句话说得好：知识不在于多而在于联。学生所学的知识能互相联系、相互贯通，这样建立起来的知识结构就更加牢固。在测量教学中，教师引导学生从具体、直观、显性的图形计算中发现图形与图形之间隐性的关联，或者把数学思想方法从具体教学内容中抽象出来，将能培养学生用联系的眼光看待事物的能力。

此题是数学

教材（五年级上）

“多边形单元复

习”中的一道题，通过测量计算长方形、平行四边形、梯形和三角形的面积，复习巩固各种图形面积计算公式。复习巩固阶段，对习题的处理与设置，应注重让学生在解决一个具体问题时，把所学的知识串联起来，既起到复习巩固的作用，又能让学生获得新的收获。在高相等的条件下，通过比较面积，加深学生对图形面积与底和高关系的认识，进一步加深对计算公式的理解。笔者认为还可以继续在此题上做文章，第三个梯形的上下底分别是1cm和1.6cm，让学生思考，当梯形上底变成1.6cm时，想想是什么图形，再列式计算。反馈时会出现变成了长方形和平行四边形两种情况，也会出现两种列式法：1.6×2和（1.6+1.6）×2÷2，第一种列式是学生根据想象后的新图形计算公式算的，第二种还是根据梯形面积计算公式算，比较分析两种算法，从而发现平行四边形面积可以用梯形面积公式来算。继续思考当梯形上底不断变短最终为0时，成了什么图形？列式计算面积，同样出现两种算法：1.6×2÷2和（0+1.6）×2÷2，此时，学生恍然大悟，在几种不同平面图形的不同面积计算方法的显性表象背后，还藏着这么隐蔽的紧密联系，梯形面积计算公式可以用来算长方形、平行四边形和三角形的面积。

又如数学教材（五年级下）”长方体表面积计算“的练习中有一道选做题，此题看图数相应要求的正方体块数，需要学生有较好的空间想象力，由于学生玩过魔方，此大正方体就是一个三阶魔方，学生通过观察，能数出正确个数，但思维层面没有很好得到锻炼。如果此时类推到由64个小正方体和125个小正方体搭成的大正方体的涂色问题，学生一定会懵了。我认为在得到正确结果后，可以组织学生观察三面涂色的小正方体的位置，由此联想到与正方体的顶点位置有关，依次发现一面涂色的小正方体的位置与面有关，二面涂色的小正方体位置与棱有关。当隐含的规律与显性的小正方形个数联系起来时，学生就能建立起模型。64个、125个小正方体搭成的大正方体的涂色问题只需先考虑一层的涂色情况，再与面、棱、顶点的数量相结合，问题的解决就变得有条有理了。

教师在教学中深度挖掘隐性因素，使显性知识与隐性知识巧妙、紧密联系，将隐性知识显性化，真正为学生所领悟，这对于图形教学中培养学生的各方面能力是很有帮助的。

四、“一”“类”互变，思维适度延展

很多练习题，本质上存在着相关性、相似性，却不易被学生察觉，如果在练习中教师是个有心人，就会将一系列相关的类型进行对比整合，拓宽学生的解题思路，这样就能达到“练一题，带一串”的教学效果，实现思维的延展。

比如应用“等底等高的平行四边形面积相等、等底等高的三角形面积相等、等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半”的知识能解决很多难易不同的题，教材在平行四边形和三角形面积计算教学后的练习中都有安排此类问题。在教学中教师就要注意整合、类比、拓展。右图两题是“三角形面积计算”后的练习，通过第6题的练习，学生除了知道等底等高的三角形面积相等外，还要知道两个相同面积的三角形去掉公共部分，剩余面积相等，即上面两个小三角形面积相等。第7题除了连接三角形三条边的中点，形成的4个三角形面积相等，还可以将三角形任一边平均分成4段，把各分点与对应顶点连接成4个面积相等的三角形。这样分的理由就是四个三角形等底等高。第9题虽是选做题，但学生若是能联想到用等底等高的知识来解决，这道题便很简单了。

教材中的题还算简单，教师可以适当补充同类题，看似复杂，却可以应用“等底等高”知识来解决，让学生的解题思维更开阔。

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如上图两题都是求阴影部分的面积（单位：cm），第1题学生想到最多的是通过直角三角形求出梯形的高，再用梯形面积减去三角形面积得到阴影部分面积。教师应引导学生添加辅助线，用“等底等高”的知识说明两个阴影三角形可以转化成一个三角形（如图），只要直接求一个底是4cm、高是2.4cm的三角形面积。第2题的阴影部分看似很难，找不到相关信息，也能通过“等底等高”的知识发现平行四边形和长方形面积相等，而去掉一个公共三角形后，剩余部分面积相等，求阴影部分的面积就转化为求“上下底是2、8，高为12”的梯形面积。

再如右图，已知三角形

ABC的面积为64平方厘米，

是平行四边形DEFC面积的

2倍，求阴影部分面积。阴影部分是个三角形，与平行四边形等底等高，面积存在2倍关系，因此阴影部分的面积就是三角形面积的四分之一。

深刻挖掘练习题的相关功能，由一组题延伸出一连串相似性问题，使学生在对比分析的基础上形成灵活解决问题的技能，使看似无法解决的问题轻松得到解决，达到解一题通一类的目的。

以上例举的只是数学教材（五年级上下册）图形与几何领域测量内容中的一部分习题的变式利用，图形与几何内容还包括图形的认识、图形的运动、图形与位置等，由于教学内容各异，变式训练的途径和方法也远不止以上例举的四种，我们可以结合习题的特征和学生的认知情况，在学生的“最近发展区”从不同的角度加以变式处理，以发展学生的空间观念为关注点，最大限度地发掘习题的训练价值，相信通过我们有意识地培养，学生的空间观念能得到更有效发展，实现从计算几何走向观念几何的转变。

（责任编辑：李雪虹）endprint